Po dokładnym zapoznaniu się z pochodnymi funkcji rozpoczynamy zadania z obliczaniem ich funkcji pierwotnych. Pochodna funkcji jest wynikiem różniczkowania jej funkcji pierwotnej. Często znana jest pochodna funkcji a potrzebna jest znajomość jej funkcji pierwotnej. Proces przejścia od pochodnej funkcji do jej funkcji pierwotnej nazywa się całkowaniem.

Podstawowe całki nieoznaczone

Zbiór wzorów na całki nieoznaczone funkcji elementarnych. Większość funkcji jakie spotkamy podczas rozwiązywania zadań są kombinacjami funkcji elementarnych. Dodatkowo w zestawieniu zamieszczone są dwa podstawowe twierdzenia o całkowaniu, tj. twierdzenie o całkowaniu przez części oraz twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie.

Całki nieoznaczone funkcji elementarnych

Całka nieoznaczona – zadanie 1

Obliczanie całki nieoznaczonej funkcji, która jest postaci f(x)=sin(4·x)/(1+2·cos(4·x)).

Całka nieoznaczona – zadanie 1

Całka nieoznaczona – zadanie 2

Obliczanie całki nieoznaczonej funkcji, która jest postaci f(x)=(3·x+7)^1/2.

Całka nieoznaczona – zadanie 2

Całka nieoznaczona – zadanie 3

Obliczanie całki nieoznaczonej funkcji, która jest postaci f(x)=2/(3·x+1).

Całka nieoznaczona – zadanie 3

Całka nieoznaczona – zadanie 4

Obliczanie całki nieoznaczonej funkcji, która jest postaci f(x)=(1+sinx)^1/2·cosx.

Całka nieoznaczona – zadanie 4

Całka nieoznaczona – zadanie 5

Obliczanie całki nieoznaczonej funkcji, która jest postaci f(x)=x·e^x. Zastosowanie twierdzenia o całkowaniu przez części.

Całka nieoznaczona – zadanie 5

Całka nieoznaczona – zadanie 6

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funckji f(x)=x³·ln(x). W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o całkowaniu przez części.

Całka nieoznaczona – zadanie 6

Całka nieoznaczona – zadanie 7

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=x²·e^x. W zadaniu zastosowane jest dwukrotnie twierdzenie o całkowaniu przez części. Po scałkowaniu funkcji policzona zostaje jej pochodna w celu sprawdzenia poprawności obliczeń.

Całka nieoznaczona – zadanie 7

Całka nieoznaczona – zadanie 8

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=x³·e^x2. W zadaniu zastosowane jest trzykrotnie twierdzenie o całkowaniu przez części. Po scałkowaniu funkcji policzona zostaje jej pochodna w celu sprawdzenia poprawności obliczeń.

Całka nieoznaczona – zadanie 8

Całka nieoznaczona – zadanie 9

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=3^5·x. W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. Po scałkowaniu funkcji policzona zostaje jej pochodna w celu sprawdzenia poprawności obliczeń.

Całka nieoznaczona – zadanie 9

Całka nieoznaczona – zadanie 10

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=sin(x/2)+cos(2·x). W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o całkowaniu sumy dwóch funkcji.

Całka nieoznaczona – zadanie 10

Całka nieoznaczona – zadanie 11

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=2/(cos²(3·x)). W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie. Obliczaną całkę doprowadzamy to postaci całki z funkcji elementarnej.

Całka nieoznaczona – zadanie 11

Całka nieoznaczona – zadanie 12

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=1/(1-sin²(x)). W zadaniu zastosowana jest jedynka trygonometryczna. Zastosowanie jedynki trygonometrycznej pozwala na przedstawienie całki w postaci całki z funkcji elementarnej.

Całka nieoznaczona – zadanie 12

Całka nieoznaczona – zadanie 13

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=(1-sin²(x))/cos(x). W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o jedynce trygonometrycznej → sin²x + cos²x = 1.

Całka nieoznaczona – zadanie 13

Całka nieoznaczona – zadanie 14

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=(1-cos²(x))/sin(x). W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o jedynce trygonometrycznej → sin²x + cos²x = 1.

Całka nieoznaczona – zadanie 14

Całka nieoznaczona – zadanie 15

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=1/(x²+8). W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie oraz wykorzystany jest wzór na całkę funkcji elementarnej.

Całka nieoznaczona – zadanie 15

Całka nieoznaczona – zadanie 16

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=1/(x-1)². W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o całkowaniu przez podstawianie oraz wykorzystany jest wzór na całkę funkcji elementarnej.

Całka nieoznaczona – zadanie 16

Całka nieoznaczona – zadanie 17

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=x·(3^(1/2))^x. W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o całkowaniu przez przez części oraz wykorzystane są wzóry na całki funkcji elementarnych.

Całka nieoznaczona – zadanie 17

Całka nieoznaczona – zadanie 18

Rozwiązany przykład obliczający całkę nieoznaczoną funkcji f(x)=x·((cos²x)+3³)/(cos²x). W zadaniu zastosowane jest twierdzenie o sumie całki z dwóch funkcji oraz wykorzystane są wzóry na całki funkcji elementarnych.

Całka nieoznaczona – zadanie 18

Całka nieoznaczona – przykład 0

Obliczanie całki nieoznaczonej funkcji, która jest postaci f(x)=x³·(x²+1)^1/3. Zastosowanie twierdzenia o podstawianiu.

Całka nieoznaczona – przykład 0