Rozwiązane zadania z matematyki dotyczące wyznaczania macierzy odwrotnych.
Podczas rozwiązywania równań macierzowych niezbędne są macierze odwrotne. W równaniu macierzowym macierzy nie wolno dzielić!!!. Macierz odwrotna pozwala na eliminację macierzy z jednej strony równania. Procedura wyznaczania macierzy odwrotnej do macierzy A:
• sprawdzić czy macierz A jest odwracalna → detA≠0
• obliczyć wyznacznik macierzy A → detA
• obliczyć macierz dopełnień algebraicznych → Dij
• transponować macierz dopełnień algebraicznych Dij → (Dij)T
• obliczyć macierz odwrotną do macierzy A → A-1=(1/detA)·(Dij)T
• sprawdzić poprawność obliczeń poprzez wykonanie mnożenia macierzy A i jej macierzy odwrotnej A-1 → A·A-1 lub A-1·A
• jak wynik mnożenia jest równy macierzy jednostkowej to obliczenia są dobrze wykonane → A·A-1=I lub A-1·A=I
Rozwiązany przykład wyznaczający macierz odwrotną. Rozważana macierz kwadratowa A ma cztery elementy. Najpierw obliczony zostanie wyznacznik macierzy A → detA. Kolejnym krokiem jest wyznaczenie macierzy dopełnień algebraicznych macierzy A → Dij. Następnie macierz dopełnień algebraicznych będzie transponowana → (Dij)T. Macierz odwrotna A-1 macierzy A zostanie wyznaczona z wzoru → A-1=(1/detA)·(Dij)T. W celu sprawdzenia poprawności obliczeń wykonane zostanie mnożenie macierzy i jej macierzy odwrotnej → A·A-1=I. W wyniku mnożenia otrzymana zostanie macierz jednostkowa I.
Macierz odwrotna - przykład
Rozwiązany przykład wyznaczający macierz odwrotną. Rozważana macierz kwadratowa A ma cztery elementy. Najpierw obliczony zostanie wyznacznik macierzy A → detA. Kolejnym krokiem jest wyznaczenie macierzy dopełnień algebraicznych macierzy A → Dij. Następnie macierz dopełnień algebraicznych będzie transponowana → (Dij)T. Macierz odwrotna A-1 macierzy A zostanie wyznaczona z wzoru → A-1=(1/detA)·(Dij)T. W celu sprawdzenia poprawności obliczeń wykonane zostanie mnożenie macierzy i jej macierzy odwrotnej → A·A-1=I. W wyniku mnożenia otrzymana zostanie macierz jednostkowa I.
Macierz odwrotna - zadanie 1
Rozwiązany przykład wyznaczający macierz odwrotną. Rozważana macierz kwadratowa A ma cztery elementy, niektóre elementy są liczbami zespolonymi. Najpierw obliczony zostanie wyznacznik macierzy A → detA. Kolejnym krokiem jest wyznaczenie macierzy dopełnień algebraicznych macierzy A → Dij. Następnie macierz dopełnień algebraicznych będzie transponowana → (Dij)T. Macierz odwrotna A-1 macierzy A zostanie wyznaczona z wzoru → A-1=(1/detA)·(Dij)T. W celu sprawdzenia poprawności obliczeń wykonane zostanie mnożenie macierzy i jej macierzy odwrotnej → A·A-1=I. W wyniku mnożenia otrzymana zostanie macierz jednostkowa I.
Macierz odwrotna - zadanie 2
Rozwiązany przykład wyznaczający macierz odwrotną. Rozważana macierz kwadratowa A składa się z dziewięciu elementów. Najpierw obliczony zostanie wyznacznik macierzy A → detA. Wyznacznik macierzy A wyznaczony zostanie z zastosowaniem reguły Sarrusa. Kolejnym krokiem jest wyznaczenie macierzy dopełnień algebraicznych macierzy A → Dij. Następnie macierz dopełnień algebraicznych będzie transponowana → (Dij)T. Macierz odwrotna A-1 macierzy A zostanie wyznaczona z wzoru → A-1=(1/detA)·(Dij)T. W celu sprawdzenia poprawności obliczeń wykonane zostanie mnożenie macierzy i jej macierzy odwrotnej → A·A-1=I. W wyniku mnożenia otrzymana zostanie macierz jednostkowa I.
Macierz odwrotna - zadanie 3