Momenty bezwładności - zadania

Moment bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu obrotowym bryły sztywnej. Moment bezwładności opisuje rozkład masy bryły wokół osi obrotu. W przypadku punktu materialnego o masie m wyznaczenie jego momentu bezwładności jest stosunkowo proste. Moment bezwładności dla punktu materialnego obracającego się wokół osi oddalonej o odległość r jest dany równaniem I=m·r2. Jak można wnioskować z równania na moment bezwładności posiada on jednostkę a jest nią [kg·m2. W przypadku ogólnym do wyznaczenia momentu bezwładności stosuje się rachunek całkowy. Wzór ogólny na moment bezwładności jest dany równaniem
Moment bezwładności - wzór ogólny. Momenty bezwładności podstawowych brył dla osi obrotów przechodzących przez ich środki symetrii zostały obliczone. Często jednak konieczne jest obliczenie momentu bezwładności bryły dla innej osi obrotu. Obliczenie momentu bezwładności dla osi obrotu równoległej do osi symetrii i oddalonej o odległość d jest możliwe poprzez zastosowanie twierdzenia Steinera o osiach równoległych.
Twierdzenie Steinera - wzór.

Momenty bezwładnosci - wzory

Moment bezwładności walca - wzór.

Wzory na momenty bezwładności podstawowych brył takich jak: cienkościenna obręcz, walec, kula oraz jednorodny pręt. Wzory na momenty bezwładności podanych brył są dla osi obrotu przechodzącej przez ich środek symetrii. Stosując twierdzenie Steinera o osiach równoległych można wyznaczyć momenty bezwładności dla osi obrotów oddalonych o odległość d.

Momenty bezwładności podstawowych brył

Moment bezwładnosci cienkiego pręta - zadanie 1

Moment bezwładności cienkiego pręta dla osi obrotu wokół jednego z końców.

Wyznaczanie momentu bezwładności jednorodnego pręta dla osi obrotu przechodzącej przez jeden z jego końców. Gęstość liniowa ρ[kg/m] oraz długość l[m] pręta są znane. Dla wycinka pręta Δx zostanie zapisane równanie momentu bezwładności I(x+Δx)-I(x)=ρ·x2·Δx. Przechodząc do granicy Δx → 0 uzyskane zostanie równanie dI/dx=ρ·x2. Obliczenie momentu bezwładności sprowadza się do rozwiązania równania różniczkowego dI=ρ·x2·dx. W rozważanym równaniu elementarne masy pręta będą scałkowane po całej długości pręta.

Moment bezwładności jednorodnego pręta - zadanie 1

Moment bezwładnosci cienkiego pręta - zadanie 2

Moment bezwładności cienkiego pręta dla osi obrotu w środku pręta.

Wyznaczanie momentu bezwładności jednorodnego pręta dla osi obrotu przechodzącej przez jego środek. Rozważany pręt posiada długość l[m] oraz masę m[kg]. W celu wyznaczenia momentu bezwładności pręta rozbity zostanie on na dwie połowy o masach m/2[kg] oraz o długościach l/2[m]. Pręt został rozbity tak aby każda połowa pręta obracała się w tym samym kierunku wokół osi przechodzącej przez jeden z końców. Oś obrotu połowy pręta zostanie wybrana dokładnie w punkcie środka pręta. Moment bezwładności pręta wyznaczony zostanie jako suma momentów bezwładności połówek pręta.

Moment bezwładności jednorodnego pręta - zadanie 2

Moment bezwładnosci kuli - zadanie 1

Moment bezwładności kuli.

Jednorodna kula o masie m1[kg] i promieniu r[m] wykonuje ruch obrotowy wokół osi obrotu równoległej do jej osi symetrii. Moment bezwładności kuli dla osi obrotu pokrywającej się z osią symetrii jest znany. Oś obrotu jest oddalona od osi symetrii kuli o odległość d[m]. w zadaniu zastosowane będzie twierdzenie Steinera.

Moment bezwładności kuli - zadanie 1