Wyznaczanie momentów bezwładności i środków ciężkości dla różnych układów brył. ¦rodek ciężkości jest punktem będącym środkiem masy bryły do którego przyłożona jest siła ciężkości. ¦rodek ciężkości ma jedną szczególną właściwość, bryła w jakikolwiek sposób obrócona wokół osi przechodzącej przez jej środek pozostanie w równowadze. Wyznaczanie środków masy dla niezłożonych brył o równomiernym rozkładzie masy (w każdym swoim punkcie maja taką samą gęstość) jest zadaniem prostym → przykładami są sześcian lub kula. W przypadku bardziej złożonych brył zadanie jest już trudniejsze.
Moment bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu obrotowym. W ogólności moment bezwładności jest równy
I=∫r2·dm
gdzie
• r - odległość masy od osi obrotu [kg]
• dm - elementarna masa [m]
Jednostką momentu bezwładności jest [kg·m2]. Podczas wyznaczania momentów bezwładności rozmaitych figur bardzo często posługujemy się twierdzeniem Steinera o osiach równoległych.
Twierdzenie Steinera:
I=I0+m·d2
gdzie
• I0 - moment bezwładności bryły dla osi przechodzącej przez jej środek ciężkości [kg·m2]
• I - moment bezwładności dla dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek ciężkości bryły [kg·m2]
• d - odległość między osiami [m]
• m - masa bryły [m]
Jak można zauważyć z twierdzenia Steinera nasuwa się prosty wniosek że bryła ma zawsze najmniejszy moment bezwładności dla osi przechodzącej przez jej środek ciężkości.
Wyznaczanie momentu bezwładności i środka ciężkości dla przekroju poprzecznego. Rozważany przekrój jest wynikiem wycięcia z prostokąta o bokach 4·a x 5·a połowy koła o promieniu r=2·a. Podczas obliczania zadania rozbijamy przekrój wyjściowy na przekroje składowe. Dla przekrojów składowych wyznaczone zostają ich środki ciężkości a następnie wyznaczony zostaje środek ciężkości dla figury wyjściowej. Dla przekrojów składowych wyznaczone są również momenty bezwładności. Posiadając momenty bezwładności przekroi składowych sumujemy je w celu uzyskania momentu bezwładności przekroju wyjściowego. W celu wyznaczenia momentu bezwładności dla osi obrotu przechodzącej przez środek ciężkości figury wykorzystane zostanie twierdzenie Steinera o osiach równoległych.
Obliczanie momentu bezwładności i środka ciężkości - zadanie 1
Dla figury powstałej w wyniku sklejenia podstawami dwóch trójkątów zostanie wyznaczony moment bezwładności oraz środek ciężkości. Pierwszy trójkąt ma podstawę o długości 4·a oraz wysokość 3·a. Drugi trójkąt ma podstawę o długości 2·a oraz wysokość a. Najpierw wyznaczone zostaną środki ciężkości figur składowych, a następnie środek ciężkości figury głównej. Dla figur składowych wyznaczone zostaną momenty bezwładności dla osi przechodzącej w miejscu sklejenia trójkątów. Moment bezwładności dla przekroju głównego zostanie wyznaczony z zastosowanie twierdzenia Steinera o osiach równoległych. Dla przekroju głównego zostanie wyznaczony moment bezwładności dla osi przechodzącej przez środek ciężkości.
Obliczanie momentu bezwładności i środka ciężkości - zadanie 2
W wyniku wycięcia z przekroju w kształcie kwadratu o wymiarach 3·a x 3·a prostokąta o wymiarach 2·a x a powstał nowy przekrój poprzeczny. Dla tak określonego przekroju wyznaczony zostanie moment bezwładności oraz środek ciężkości. Podczas obliczania zadania rozbijamy przekrój wyjściowy na przekroje składowe. Dla przekrojów składowych wyznaczone zostają ich środki ciężkości a następnie wyznaczony zostaje środek ciężkości dla figury wyjściowej. Dla przekrojów składowych wyznaczone są również momenty bezwładności. Posiadając momenty bezwładności przekroi składowych sumujemy je w celu uzyskania momentu bezwładności przekroju wyjściowego. W celu wyznaczenia momentu bezwładności dla osi obrotu przechodzącej przez środek ciężkości figury wykorzystane zostanie twierdzenie Steinera o osiach równoległych.
Obliczanie momentu bezwładności i środka ciężkości - zadanie 3
W wyniku wycięcia z przekroju w kształcie kwadratu o wymiarach 3·a x 3·a prostokąta o wymiarach 2·a x a powstał nowy przekrój poprzeczny. Dla tak określonego przekroju wyznaczony zostanie moment bezwładności oraz środek ciężkości. Podczas obliczania zadania rozbijamy przekrój wyjściowy na przekroje składowe. Dla przekrojów składowych wyznaczone zostają ich środki ciężkości a następnie wyznaczony zostaje środek ciężkości dla figury wyjściowej. Dla przekrojów składowych wyznaczone są również momenty bezwładności. Posiadając momenty bezwładności przekroi składowych sumujemy je w celu uzyskania momentu bezwładności przekroju wyjściowego. W celu wyznaczenia momentu bezwładności dla osi obrotu przechodzącej przez środek ciężkości figury wykorzystane zostanie twierdzenie Steinera o osiach równoległych.
Obliczanie momentu bezwładności - zadanie 4