Metoda operatorowa - zadania

W teorii sterowania podczas analizy sygnałów i tworzenia modeli matematycznych badanych obiektów szeroko stosowana jest metoda operatorowa. Wygodnie jest przekształcić interesujące nas sygnały do postaci operatorowej a następnie wykonać dalsze obliczenia. Inaczej metoda operatorowa nazywana jest transformacją Laplace'a. Metoda operatorowa stosowana jest do rozwiązywania równań różniczkowych. Obiekty z którymi spotykamy się w automatyce bardzo często są opisane równaniami różniczkowymi. Podczas badania reakcji obiektów podawane są na ich wejścia różne wymuszenia. Podstawowym sygnałem wymuszającym jest funkcja jednykowa 1(t). Funkcję jedynkowa jest funckją skokową, często spotykana jest ona pod nazwą funkcji Heaviside'a lub skoku jednostkowego. W wyniku podania na wejście obiektu pewnego sygnału na jego wyjściu pojawia się odpowiedź w postaci sygnału wyjściowego.

Podstawowe transformaty Laplace'a

Metoda operatorowa - transformata Laplace'a.

Zestaw wzorów na podstawowe transformaty Laplace'a oraz ich oryginały. Rozwiązywanie równań różniczkowych metodą operatorową opiera się przede wszystkim na znajomości wzorów na podstawowe transformaty. Wzory na transformaty Laplace'a ważniejszych funkcji zostały już wyprowadzone przez matematyków. Transformaty funkcji można wyznaczyć również z definicji transformacji do postaci operatorowej.

Podstawowe transformaty Laplace'a

Metoda operatorowa - przykład 1

Metoda operatorowa - przykład 1.

Obiekt automatyki opisany jest transmitancją operatorową G(s)=1/s. Na wejście obiektu podany jest sygnał u(t)=2 → u(t)=2(t). Transformata Laplace'a sygnału wejściowego £{2(t)}=2/s → U(s)=2/s. W zadaniu wyznaczony zostanie sygnał wyjściowy w postaci operatorowej Y(s)=G(s)·U(s). Sygnał wyjściowy zostanie poddany transformacji odwrotnej w celu przejścia z dziedziny zmiennej zespolonej s do dziedziny czasu t. £-1{Y(s)}=y(t).

Metoda operatorowa - przykład 1

Metoda operatorowa - przykład 2

Metoda operatorowa - przykład 2.

Obiekt automatyki opisany jest transmitancją operatorową G(s)=1/(s+1). Na wejście obiektu podany jest sygnał u(t)=3·t. Transformata Laplace'a sygnału wejściowego £{3·t}=3/(s2) → U(s)=3/(s2). W zadaniu wyznaczony zostanie sygnał wyjściowy w postaci operatorowej Y(s)=G(s)·U(s). Sygnał wyjściowy zostanie poddany transformacji odwrotnej w celu przejścia z dziedziny zmiennej zespolonej s do dziedziny czasu t. £-1{Y(s)}=y(t).

Metoda operatorowa - przykład 2

Metoda operatorowa - zadanie 1

Metoda operatorowa - zadanie 1.

Sygnał wyjściowy w pewnym obiekcie automatycznej regulacji opisany jest równaniem różniczkowym 2·x"+3·x'+x=4. Sygnał posiada warunki początkowe x(0)=1 oraz x'(0)=1. Równanie różniczkowe opisujące sygnał wyjściowy zostanie rozwiązane metodą operatorową. Po transformacji równania do postaci operatorowej zostanie ono rozbite na ułamki proste. Wyznaczone zostaną oryginały transformat ułamków prostych. Współczynniki ułamków prostych zostaną wyznaczone z zastosowaniem wzorów Heaviside'a.

Metoda operatorowa - zadanie 1

Metoda operatorowa - zadanie 2

Metoda operatorowa - zadanie 2.

Model matematyczny obiektu opisany jest transmitancją operatorową G(s)=4(s+1). Na wejście obiektu podany jest sygnał u(t)=2·sin(ω·t). W zadaniu należy wyznaczyć sygnał wyjściowy obiektu y(t). Z definicji transformacji operatorowej wyznaczyć można postać operatorową sygnału wyjściowego Y(s)=G(s)·U(s). Transformaty sygnałów i ich oryginały zostaną wyznaczone z zastosowaniem wzorów na transformaty podstawowych funkcji.

Metoda operatorowa - zadanie 2

Metoda operatorowa - zadanie 3

Metoda operatorowa - zadanie 3.

Znana jest operatorowa postać sygnału zakłócającego występującego w obiekcie. Sygnał zakłócający opisany jest równaniem operatorowym F(s)=(s2+2·s+1)/((s+3)3·s2). Oryginał postaci operatorowej sygnału zostanie wyznaczony z zastosowaniem wzorów na transformaty Laplace'a podstawowych funkcji. Współczynniki oryginału funkcji sygnału zakłócającego zostaną wyznaczone z zastosowaniem wzorów Heaviside'a.

Metoda operatorowa - zadanie 3

Metoda operatorowa - zadanie 4

Metoda operatorowa - zadanie 4.

Znana jest operatorowa postać sygnału zakłócającego występującego w obiekcie. Sygnał zakłócający opisany jest równaniem operatorowym F(s)=(s2+1)/(s·(s+1)·(s-2)). Oryginał postaci operatorowej sygnału zostanie wyznaczony z zastosowaniem wzorów na transformaty Laplace'a podstawowych funkcji. Współczynniki oryginału funkcji sygnału zakłócającego zostaną wyznaczone z zastosowaniem wzorów Heaviside'a.

Metoda operatorowa - zadanie 4