Zmienne stanu są jednym z sposobów tworzenia modeli matematycznych obiektów dynamicznych. Liczba zmiennych stanu danego układu jest równa liczbie magazynów energii. Przykładami magazynów energii dla układów elektrycznych są:
• kondensator C → gromadzi energię w polu elektrycznym
• cewka L → gromadzi energię w polu magnetycznym
Przykładami magazynów energii dla układów mechanicznych są:
• bryła o masie m[kg] w ruchu postępowym → energia kinetyczna w ruchu postępowym
• bryła o momencie bezwładności J[kg·m2 podczas ruchu obrotowego → energia kinetyczna w ruchu obrotowym
• sprężyna o sztywności k[N/m] → energia potencjalna zgromadzona w sprężynie
W oparciu o zmienne stanu tworzymy równania stanu. Równania stanu tworzą układ równań. Układ równań stanu zapisujemy z zastosowaniem rachunku macierzowego.
Zamieszony powyżej zapis macierzowy układu równań zmiennych stanu, jest w ogólnym przypadku bardziej złożony. Modelowane obiekty mogą posiadać więcej niż jeden magazyn energii w swojej strukturze. Jak wspomniano wyżej z każdym magazynem energii związana jest zmienna stanu. W ogólnym przypadku obiekt może również posiadać więcej niż po jednym sygnale wejściowym i sygnale wyjściowym.
Przedstawione powyżej macierze stanu [A], sterowań [B], wyjścia [C] i sprzężeń [D] zawierają wiele współczynników. Oczywiście przedstawiony został zapis ogólny. Współczynniki macierzy oraz zmienne stanu uzyskujemy poprzez zapisanie w postaci normalnej równań różniczkowych opisujących obiekt. Postać normalna równania różniczkowego to taka w której najwyższa pochodna znajduje się po jednej stronie równania, a cała reszta po drugiej. Zapis równań różniczkowych w postaci normalnej pozwala na łatwe stworzenie schematu blokowego obiektu. W oparciu o schemat blokowy oraz współczynniki można przeprowadzić symulację obiektu poprzez narzędzie Simulink programu MATLAB.
Wyznaczanie równań stanu i transmitancji operatorowej dla czwórnika RC. Równania stanu wyznaczane są w oparciu o pierwsze i drugie prawo Kirchhoffa. Transmitancja operatorowa wyznaczana jest w oparciu o impedancję zastępczą obwodu. Sygnałem wyjściowym z czwórnika jest napięcie na kondensatorze. Układ posiada jeden magazyn energii w postaci kondensatora C. Zmienna stanu w tym obwodzie elektrycznym jest napięcie na kondensatorze C.
Transmitancja operatorowa i zapis równań stanu dla czwórnika RC
Zapis równań stanu i transmitancji operatorowej dla czwórnika RLC. Równania stanu wyznaczone są z użycie praw Kirchhoffa dla obwodów elektrycznych. Sygnałem wyjściowym w rozwiązanym przykładzie jest napięcie na kondensatorze. W opracowaniu zawarte są również wskazówki pozwalające na wykonanie symulacji obiektu w programie matlab. Rozpatrywany obwód elektryczny posiada dwa magazyny energii, z każdym magazynem energii związana jest zmienna stanu. Pierwsza zmienna stanu to napięcie na kondensatorze C. Druga zmienna stanu to prąd cewki L.
Transmitancja operatorowa i równania stanu dla czwórnika RLC 1
Wyznaczanie transmitancji operatorowej i równań stanu dla czwórnika RLC. Czwórnik skonstruowany jest w taki sposób że sygnałem wyjściowym jest napięcie połączonych równolegle kondensatora i cewki. Opracowanie zawiera również przykładowy kod do programu MATLAB pozwalający na wykonanie symulacji w celu wykreślenia charakterystyki impulsowej, charakterystyki skokowej oraz charakterystyk częstotliwościowych. Rozpatrywany obwód elektryczny posiada dwa magazyny energii, z każdym magazynem energii związana jest zmienna stanu. Pierwsza zmienna stanu to napięcie na kondensatorze C. Druga zmienna stanu to prąd cewki L.
Transmitancja operatorowa i równania stanu dla czwórnika RLC 2
Wyznaczanie równań stanu i transmitancji operatorowej dla czwórnika RLC. Równania stanu wyznaczone są z użycie praw Kirchhoffa dla obwodów elektrycznych. Sygnałem wyjściowym w rozwiązanym przykładzie jest napięcie na cewce.
Transmitancja operatorowa i równania stanu dla czwórnika RLC