Zadania z matematyki na poziomie studiów wyższych

Matematyka jest językiem nauki. Dobra znajomość aparatu matematycznego jest podstawą do zrozumienia nauk ścisłych.
Na stronie zamieszczone są zdania z matematyki jakie udało mi się rozwiązać podczas studiów. Znaleźć tu można rozwiązane przykłady
zadań z równaniami różniczkowymi, macierzami odwrotnymi, wektorami własnymi, transformatami Laplace’a, całkami nieoznaczonymi, szeregami liczbowymi. Jest także kompaktowy cztero częściowy zbiór zadań jakie mogą się znaleźć na egzaminie z analizy matematycznej.
Wersja anglojęzyczna:
Maths

Pochodne funkcji – zadania:

Zbiór zadań w których obliczane są pochodne różnych funkcji. Poza zadaniami zamieszczone są również podstawowe twierdzenia dotyczące wyznaczania pochodnych funkcji.

Pochodne funkcji zadania

Całka nieoznaczona – zadania:

Rozwiązane zadania i przykłady w których obliczane są całki nieoznaczone różnych funkcji. Na stronie zamieszczone są wzory na całki nieoznaczone funkcji elementarnych. W rozwiązanych przykładach stosowane są róże twierdzenia dotyczące całkowania między innymi twierdzenie o całkowaniu przez części oraz twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. W praktyce wykorzystujemy całkowanie przykładowo do obliczania momentów bezwładności różnych brył.

Całki nieoznaczone- rozwiązane zadania

Całka oznaczona – zadania:

Po dokładnym zapoznaniu się z pochodnymi funkcji oraz z obliczaniem ich funkcji pierwotnych w postaci całek nieoznaczonych dochodzimy do całek oznaczonych. Wynikiem obliczenia całki nieoznaczonej jest funkcja plus stała. Podstawowym twierdzeniem stosowanym przy obliczaniu całek oznaczonych jest twierdzenie Newtona-Leibniza. Całka oznaczona w wyniku daje nam konkretną wartość liczbową. Jeżeli przykładowa funkcja jest w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych XY to całka oznaczona z tej funkcji na pewnym przedziale osi odciętych(osi argumentów x) jest w interpretacji geometrycznej polem powierzchni pod krzywą jaką zakreśla ta funkcja nad tym przedziałem.

Całki oznaczone- rozwiązane zadania

Analiza matematyczna zadania ogólne:

W zbiorze zadań z analizy matematycznej można znaleźć rozwiązane przykłady z równań różniczkowych. Równania różniczkowe rozwiązywane są metodą wyznacznika i metodą przewidywań. Kilka przykładów jest poświęconych badaniom zbieżności szeregów liczbowych w oparciu o kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta. W zbiorze zadań rozwiązane są również przykłady związane z szeregami funkcyjnymi.

Analiza matematyczna zadania zestaw 0
Analiza matematyczna zadania zestaw 1
Analiza matematyczna zadania zestaw 2
Analiza matematyczna zadania zestaw 3

Równania różniczkowe – zadania:

Rozwiązane zadania dotyczące równań różniczkowych. Znaleźć tu można rozwiązane przykłady z równaniami różniczkowymi pierwszego i drugiego rzędu. W zadaniach rozwiązywane są równania różniczkowe jednorodne oraz niejednorodne. Szczegółowo wyjaśnione jest zastosowanie metody przewidywań oraz metody wrońskiana do rozwiązywania równań różniczkowych.

Równania różniczkowe – zadania

Transformata Laplace’a – rozwiązane przykłady

Równania różniczkowe niekoniecznie muszą być rozwiązywane metodą klasyczną. Bardzo często stosowną metodą do rozwiązywania równań różniczkowych jest rachunek operatorowy, nazywany również często transformatą Laplace’a. Korzystając z transformaty Laplace’a do rozwiązania równania różniczkowego, otrzymujemy mówiąc z dużym uproszczeniem do rozwiązania równanie algebraiczne. Układy dynamiczne bardzo często opisuje się z wykorzystaniem transformaty Laplace’a.

Transformata Laplace’a – rozwiązane zadania

Macierze odwrotne – rozwiązane zadania

Podczas rozwiązywania równań macierzowych niezbędne są macierze odwrotne. W równaniu macierzowym macierzy nie wolno dzielić!!!. Macierz odwrotna pozwala na eliminację macierzy z jednej strony równania. Procedura wyznaczania macierzy odwrotnej do macierzy A:
• sprawdzić czy macierz A jest odwracalna → detA≠0
• obliczyć wyznacznik macierzy A → detA
• obliczyć macierz dopełnień algebraicznych → D_ij
• transponować macierz dopełnień algebraicznych D_ij → (D_ij)^T
• obliczyć macierz odwrotną do macierzy A → A^-1=(1/detA)·(D_ij)^T
• sprawdzić poprawność obliczeń poprzez wykonanie mnożenia macierzy A i jej macierzy odwrotnej A^-1 → A·A^-1 lub A^-1·A
• jak wynik mnożenia jest równy macierzy jednostkowej to obliczenia są dobrze wykonane → A·A^-1=I lub A^-1·A=I

Macierze odwrotne – rozwiązane zadania

Wartości własne i wektory własne macierzy – zadania:

Kilka kompletnie rozwiązanych przykładów wyznaczających wektory własne macierzy oraz wartości własne macierzy. Wartości własne macierzy uzyskuje się poprzez obliczenie wyznacznika det[A–λ·I].
Gdzie:
• A jest rozważaną macierzą
• λ jest wektorem wartości własnych macierzy A
• I jest macierzą macierzą jednostkową