Macierz rotacji opisuje rotację pomiędzy jednym układem współrzędnych a drugim układem współrzędnych w ogólności macierz rotacji przedstawiająca transformację współrzędnych z układu {B} do układu {A} jest postaci:
Jak widać na rysunku powyżej macierz rotacji jest macierzą iloczynów skalarnych wersorów kolejnych osi układów współrzędnych {A} i {B}.
Kąty Eulera opisują dowolną rotację pomiędzy układami współrzędnych kartezjańskich. W ogólności każdą rotację można przedstawić jak złożenie trzech obrótów pomiędzy układami współrzędnych. Każdy z obrotów składowych jest rotacją wokół jednej z osi. W rozważanych tutaj przykładach obroty bedą następować kolejno wokół osi Z-Y-X. Tok postępowania podczas rotacji jest następujący
• Pierwszy obrót nastÄ™puje wokół osi ZA ukÅ‚adu wejÅ›ciowego i odbywa sie w pÅ‚aszczyÂznie XAYA o kÄ…t ψ, w efekcie powstaje ukÅ‚ad {B'}, osie ZA i ZB' pokrywajÄ… siÄ™.
• Drugi obrót nastÄ™puje wokół osi YB' ukÅ‚adu {B'} i odbywa sie w pÅ‚aszczyÂznie XB'ZB' o kÄ…t θ, w efekcie powstaje ukÅ‚ad {B''}, osie YB'' i YB' pokrywajÄ… siÄ™.
• Trzeci obrót nastÄ™puje wokół osi XB'' ukÅ‚adu {B''} i odbywa sie w pÅ‚aszczyÂznie YB''ZB'' o kÄ…t φ, w efekcie powstaje ukÅ‚ad wyjÅ›ciowy {B}, osie XB i XB' pokrywajÄ… siÄ™.
W ogólności macierz z układu {B} do {A} jest równa iloczynowi trzech macierzy.
W ukÅ‚adzie współrzÄ™dnych kartezjaÅ„skich {B} znajduje siÄ™ wektor BP. WspółrzÄ™dne wektora BP okreÅ›lone sÄ… w ukÅ‚adzie {B}. PoczÄ…tek ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B} jest przeuniÄ™ty wzglÄ™dem poczÄ…tku ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {A} o wektor APBORG. UkÅ‚ad {B} jest także obrócony wzglÄ™dem ukÅ‚adu {A} wokół osi Y o kÄ…t Θ=π/6. Celem w zadaniu jest wyznaczenie pozycji wektora P w ukÅ‚adzie {A} → AP. Pozycja wektora P w ukÅ‚adzie {A} jest równa iloczynowi macierzy rotacji z ukÅ‚adu {B} do ukÅ‚adu {A} z wektorem BP plus wektor APBORG.
Macierz rotacji - zadanie 1UkÅ‚ad współrzÄ™dnych {B} jest obrócony wzglÄ™dem ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {A} wokół każdej z osi wedÅ‚ug kolejnoÅ›ci Z-Y-X. KÄ…ty Eulera dla tak wykonanych obrotów wynoszÄ… kolejno: ψ=π/2, θ=π/2, φ=π/2. W zadaniu wyznaczone zostanÄ… kolejne macierze rotacji pomiÄ™dzy poÅ›rednimi ukÅ‚adami współrzÄ™dnych. Najpierw z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B} → {B''}, nastÄ™pnie z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B''} → {B'}, nastÄ™pnie z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B'} → {A}.
KÄ…ty Eulera i macierze rotacji - zadanie 1UkÅ‚ad współrzÄ™dnych {B} jest obrócony wzglÄ™dem ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {A} wokół każdej z osi wedÅ‚ug kolejnoÅ›ci Z-Y-X. KÄ…ty Eulera dla tak wykonanych obrotów wynoszÄ… kolejno: ψ=π/3, θ=2·π/3, φ=3·π/2. W zadaniu wyznaczone zostanÄ… kolejne macierze rotacji pomiÄ™dzy poÅ›rednimi ukÅ‚adami współrzÄ™dnych. Najpierw z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B} → {B''}, nastÄ™pnie z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B''} → {B'}, nastÄ™pnie z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B'} → {A}.
KÄ…ty Eulera i macierze rotacji - zadanie 2UkÅ‚ad współrzÄ™dnych {B} jest obrócony wzglÄ™dem ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {A} wokół każdej z osi wedÅ‚ug kolejnoÅ›ci Z-Y-X. KÄ…ty Eulera dla tak wykonanych obrotów wynoszÄ… kolejno: ψ=π/4, θ=2·π/8, φ=3·π/2. W zadaniu wyznaczone zostanÄ… kolejne macierze rotacji pomiÄ™dzy poÅ›rednimi ukÅ‚adami współrzÄ™dnych. Najpierw z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B} → {B''}, nastÄ™pnie z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B''} → {B'}, nastÄ™pnie z ukÅ‚adu współrzÄ™dnych {B'} → {A}.
KÄ…ty Eulera i macierze rotacji - zadanie 3