Zadania z mechaniki i wytrzymałości materiałów

Znaleźć tutaj można szereg zadań z mechaniki jakie spotkać można podczas studiów wyższych. Rozwiązane są tutaj przykłady z statyki, kinematyki i dynamiki. Zamieszczone są tutaj kompletne rozwiązane przykłady z wytrzymałości materiałów. Przykłady z wytrzymałości materiałów związane są z naprężeniami w belkach, naprężeniami w prętach, naprężeniami w wałach oraz obliczaniem momentów bezwładności.

Mechanika statyka:

Rozwiązane zadania i przykłady z statyki. W statyce badamy wpływ sił na ciała znajdujące się spoczynku. W statyce ruch nie występuje. Ciała poddane działaniom sił zewnętrznych lub momentów sił zewnętrznych znajdują się w równowadze. Równowaga jest zapewniona poprzez siły reakcji. Siły reakcji wprowadzone są w momencie uwolnienia ciała od więzów. Najprostszym przykładem siły reakcji jest siła nacisku. W polu grawitacyjnym na każde ciało działa siła ciężkości, często nazywana ciężarem. Jeżeli przedmiot leży na podłodze to naciska na nią swoją siłą ciężkości, która jest kierowana pionowa w dół. Jeżeli chcemy dany przedmiot uwolnić od podłogi to musimy uwzględnić na mocy trzeciej zasady dynamiki Newtona (zasady akcji i reakcji) siłę z jaką podłoga działa na przedmiot. Siła z którą podłoga działa na przedmiot jest siłą nacisku i jest przeciwnie skierowana do ciężaru. Gdybyśmy po uwolnieniu od więzów nie wprowadzili tej siły to na mocy pierwszej zasady dynamiki na ciało działaby niezrównoważona siła, która powinna powodować ruch ciała z przyśpieszeniem a. Wartość przyśpieszenia jest związana z siłą wymuszającą druga zasadą dynamiki. Gdyby siła nacisku nie została wprowadzona to ciało nie znajdowałoby się w spoczynku, co nie jest zgodne rzeczywistością.

Mechanika statyka - zadania

Mechanika kinematyka:

Kinematyka jest działem mechaniki. W kinematyce zajmujemy się tylko i wyłącznie badaniem ruchu. Nie zajmuje się przyczynami ruchu, zajmujemy się samym ruchem. Na stronie zamieszczone są różne przykłady w których obliczane są prędkości, przyśpieszenia, droga, czas, energia podczas różnych przypadków ruchu. Istnieje wiele rodzajów ruchu, który można na różne sposoby klasyfikować. Mamy więc ruch jednostajny oraz ruch przyśpieszony, które sklasyfikowane są względu na zmienność prędkości w czasie. Istnieje także ruch prostoliniowy oraz ruch krzywoliniowy, które są sklasyfikowane ze względu na kształt toru ruchu. W mechanice często spotykamy się także z ruchem po okręgu oraz ruchem płaskim. Ruch płaski to złożenie ruchu postępowego i obrotowego bryły sztywnej. Odmian ruchu jest kilka, zamieszczone tu zadania będą starały się pokazać chociaż po jednym z nich.

Mechanika kinematyka - zadania

Mechanika dynamika:

Dynamika jest działem mechaniki. W dynamice badamy w jaki sposób siły wpływają na ciało oraz na jego ruch. W dynamice posługujemy się zasadami dynamiki Newtona. Znajomość zasad dynamiki Newtona jest więc podstawą do poprawnego rozwiązywania zagadnień dynamiki. Jako przypomnienie przedstawimy te zasady.
Pierwsza zasada dynamiki - Jeżeli na ciało nie działa żadna siła lub siły działają, ale się równoważą to ciało to pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym z prędkością v.
Druga zasada dynamiki - Jeżeli na ciało działa niezrównoważona siła to ciało to porusza się ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Przyśpieszenie tego ruchu jest wprost proporcjonalne do działającej siły a odwrotnie proporcjonalne do masy ciała → a=F/m.
Trzecia zasada dynamiki - Jeżeli ciał A działa na ciało B siłą FAB to również ciało B działa na ciało A siłą FBA równą co do wartości lecz przeciwnie skierowaną → FAB=-FBA. Zasada ta jest często spotykana pod nazwą zasady akcji i reakcji.

Mechanika dynamika - zadania

Drgania harmoniczne

Drgania harmoniczne są jednym z podstawowych zjawisk z jakimi mamy do czynienie w przyrodzie. W bardzo dużym skrócie można powiedzieć, ze wszystko drga. Każde ciało stałe wykonuje drgania, których częstotliwość nazywa się częstotliwością drgań własnych. Gdyby zacząć działać na ciało siłą wymuszającą o częstotliwości równej częstotliwości drgań własnych ciała to doprowadzi się je do zjawiska rezonansu mechanicznego. Oczywiście zjawisko rezonansu nie jest zarezerwowane tylko dla oddziaływań mechanicznych, występuje ono również w innych oddziaływaniach fizycznych. Przykładem jest rezonans elektryczny, szeroko stosowany w radioodbiornikach. Praktyczne jego zastosowanie polega na zwiększaniu się amplitudy interesującego nas sygnału dla sprecyzowanej częstotliwości. Układ wykonujący drgania harmoniczne porusza ruchem harmonicznym. Gdy siła działająca na ciało jest wprost proporcjonalna do wychylenia od pozycji równowagi to dany obiekt porusza się ruchem harmonicznym.

Drgania harmoniczne zadania

Zadania i przykłady z wytrzymałości materiałów

Na stronie znaleźć można sporo przykładów z wytrzymałości materiałów. Zamieszczone są tu przykłady rozwiązane od podstaw. Wśród przykładów są zadania z belką, zadania z wałem oraz zdania z przekrojami.

Zadania z belką - przykłady:

Wyznaczanie momentów gnących i sił poprzecznych(sił tnących) w belkach. Przykłady zaczynają się od wyznaczenia równań równowagi statycznej znanych z statyki. Następnym krokiem w przykładach jest obliczenie wartości sił i reakcji w belkach po uwolnieniu ich od więzów. W oparciu o uzyskane wyniki dokonujemy analizy wytrzymałościowej rozpatrywanych układów mechanicznych. Wyznaczone zostają charakterystyki momentu gnącego i siły poprzecznej na całej długości belki. Często zastosowanie znajduje również prawo Hooke'a za pomocą którego wyznaczone zostają minimalne przekroje zapewniające przeniesienie obciążeń.

Naprężenia w belkach zadania

Zadania z prętami - przykłady:

Wyznaczanie odkształcenia w układzie prętów w oparciu o prawo Hooke'a.

Zadanie naprężenia w prętach - przykład 1

Układ prętów - wyznaczanie wydłużenia względnego w oparciu o prawo Hooke'a.

Zadanie naprężenia w prętach - przykład 2

Obliczanie pola powierzchni przekroju pręta wytrzymującego naprężenia krytyczne. Rozwiązanie układu sił w prętach.

Zadanie naprężenia w prętach - przykład 3

Zadanie z wałem - przykłady:

Wyznaczanie momentu gnącego i momentu skręcającego w wale. Wyznaczanie naprężeń krytycznych. Wykres sił na długości wału.

Zadanie z wałem przykład 1

Moment skręcający i gnący w układzie z wałem. Obliczenie naprężeń maksymalnych. Wykres sił na długości wału.

Zadanie z wałem przykład 2

Układ sił oddziałujących na wał. Wyznaczanie naprężeń. Charakterystyka rozkładu sił i momentów na długości wału.

Zadanie z wałem przykład 3

Momenty bezwładności i środki ciężkości - zadania

Wyznaczanie momentów bezwładności i środków ciężkości dla różnych układów brył. Środek ciężkości jest punktem będącym środkiem masy bryły do którego przyłożona jest siła ciężkości. Środek ciężkości ma jedną szczególną właściwość, bryła w jakikolwiek sposób obrócona wokół osi przechodzącej przez jej środek pozostanie w równowadze. Wyznaczanie środków masy dla niezłożonych brył o równomiernym rozkładzie masy (w każdym swoim punkcie maja taką samą gęstość) jest zadaniem prostym → przykładami są sześcian lub kula. W przypadku bardziej złożonych brył zadanie jest już trudniejsze.
Moment bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu obrotowym. W ogólności moment bezwładności jest równy
I=∫r2·dm
gdzie
• r - odległość masy od osi obrotu [kg]
• dm - elementarna masa [m]
Jednostką momentu bezwładności jest [kg·m2]. Podczas wyznaczania momentów bezwładności rozmaitych figur bardzo często posługujemy się twierdzeniem Steinera o osiach równoległych.
Twierdzenie Steinera:
I=I0+m·d2
gdzie
• I0 - moment bezwładności bryły dla osi przechodzącej przez jej środek ciężkości [kg·m2]
• I - moment bezwładności dla dowolnej osi równoległej do osi przechodzącej przez środek ciężkości bryły [kg·m2]
• d - odległość między osiami [m]
• m - masa bryły [m]
Jak można zauważyć z twierdzenia Steinera nasuwa się prosty wniosek że bryła ma zawsze najmniejszy moment bezwładności dla osi przechodzącej przez jej środek ciężkości.

Momenty bezwładności i środki ciężkości - zadania

Spis zadań

Zadanie z statyki 1
Zadanie z statyki 2
Zadanie z statyki 3
Zadanie z statyki 4
Zadanie z statyki 5
Zadanie z statyki 6
Tarcie ślizgowe 1
Tarcie ślizgowe 2
Tarcie toczne 1
Zadanie z kinematyki 1
Zadanie z kinematyki 2
Rzut poziomy punktu materialnego
Rzut poziomy punktu materialnego
Kinematyka - chwilowy ruch obrotowy
Kinematyka - ruch względny
Dynamika - punkt materialny ślizgający się po równi pochyłej
Dynamika - kulka tocząca się po równi pochyłej
Dynamika - obrót pręta wokół jednego z końców
Dynamika - przyśpieszenie ciężarków zawieszonych przez ruchomy bloczek
Dynamika - przyśpieszenie rozwijającego się wałka
Zadanie z belką przykład 1
Zadanie z belką przykład 2
Zadanie z belką przykład 3
Zadanie z belką przykład 4
Zadanie z belką przykład 5
Zadanie z belką przykład 6
Zadanie z belką przykład 7
Zadanie z belką przykład 8
Zadanie z belką przykład 9
Zadanie z belką przykład 10
Zadanie z belką przykład 11
Zadanie z belką przykład 12
Zadanie z belką przykład 13
Zadanie z przekrojem 1
Zadanie z przekrojem 2
Zadanie z przekrojem 3