Impedancja posiada trzy składowe: rezystancję R, reaktancję indukcyjną XL oraz reaktancję pojemnościową XC. Impedancja jest wektorem, którego postać matematyczna jest następująca:
Z=R+j·XL-j·XC, gdzie
– R=ρ·l/S
– XL=ω·L
– XC=1/(ω·C)
Zamieszczone poniżej został przykład w którym wyprowadzone są wzory na wspomniane powyżej reaktancje indukcyjną i pojemnościową.
W opracowaniu rozpatrzony zostanie dwójnik zbudowany jest z rezystora, kondensatora i cewki. Do zacisków dwójnika przyłożone zostało napięcie sinusoidalnie zmienne. W wyniku przyłożonego napięcie przez obwód przepływa prąd sinusoidalnie zmienny.
Przez dwójnik przepływa przemienny prąd elektryczny sinusoidalnie zmienny opisany równaniem:
Wzory które będą używane do wyznaczenia napięć w obwodzie są następujące:
Wszystkie elementy w dwójniku połączone są szeregowo. Cechą układu szeregowego jest ten sam prąd, który przepływa przez wszystkie elementy. Napięcia na poszczególnych elementach wyznaczymy za pomocą przedstawionych powyżej wzorów. Napięcie na rezystorze wyznaczone będzie w oparciu o prawo Ohma.
Napięcie na rezystorze R:
Napięcie na cewce L:
Na początku wyznaczonej pochodnej pojawiło się wyrażenie
jest to reaktancja indukcyjna.
Uwzględniając wyrażenie na reaktancję indukcyjną
Zauważyć można, że napięcie na cewce wyprzedza w fazie prąd przepływający przez nią. Napięcie na cewce można zapisać w postaci:
Napięcie na kondensatorze:
Po obliczeniu całki z przodu wyrażenie otrzymaliśmy czynnik
jest to reaktancja pojemnościowa. Jak można zauważyć przebieg napięcia na kondensatorze opisany jest funkcją
przemnożoną przez wartości stałe. Z trygonometrii mamy zależność
wobec tego wyrażenie opisujące przebieg napięcia na kondensatorze możemy zapisać w postaci:
Zauważyć można, że napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie względem prądu przepływającego przez kondensator.
Wzory ogólne zostały już wyprowadzone, teraz przeprowadzona zostanie symulacja w programie MATLAB. Zakładamy że elementy składowe obwodu są elementami idealnymi, oznacza to że nie posiadają żadnych parametrów pasożytniczych. Przykładowo rzeczywisty rezystor posiada pasożytniczą pojemność oraz pasożytniczą indukcyjność, jednak do pewnej wartości częstotliwości możemy je zaniedbać. Symulacja przeprowadzona została dla następujących parametrów:
Zamieszony powyżej wykres przedstawia prąd i napięcie na rezystorze . Zauważyć można że prąd i napięcie rezystora są zgodne w fazie.
Na rysunku 2 zamieszczony jest przebieg prądu i napięcia na cewce . Zauważyć można że napięcie na cewce wyprzedza w fazie prąd o kąt
Rysunek 3 przedstawia przebieg prądu i napięcia na kondensatorze . Zauważyć można że napięcie na kondensatorze opóźnia się w fazie względem prądu o kąt
Na zamieszczonych powyżej trzech wykresach przedstawione są przebiegi prądu i napięcia na poszczególnych elementach rozważanego obwodu elektrycznego. Obwód elektryczny z tego przykładu jest obwodem szeregowym, oznacza to, że poprzez wszystkie elementy przepływa ten sam prąd. Wartość i charakterystyka prądu elektrycznego i(t) jest taka sama dla wszystkich elementów.
Impedancję w analizie obwodów przedstawiamy w postaci wektorowej z wykorzystaniem liczb zespolonych.
Ponieważ składowe impedancji sumują się geometrycznie więc jej wartość liczbowa jest opisana następującą zależnością:
Obwód rozpatrywany w przykładzie posiada dla częstotliwości f = 50[ Hz] równe wartości reaktancji indukcyjnej XLi reaktancji pojemnościowej XC . Obie dla f = 50 [Hz ] mają wartość równą XL = XC = 1 [Ohm]. Obwód elektryczny znajduje się w stanie rezonansu prądu, ponieważ reaktancja pojemnościowa i reaktancja indukcyjna się w kompensują. W tym szczególnym przypadku wartość prądu przepływającego przez obwód będzie największa.
