Archiwum kategorii: Obwody elektryczne

Wartość skuteczna RMS

Wzór ogólny na wartość skuteczną (RMS – root mean square)
F_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_{0}^{T}{f^{2}(t)\cdot dt}}

Interpretacja tej wielkości na podstawie wartości skutecznej prądu.

u(t) = R \cdot i(t)

W = \int{p \cdot dt}
W = \int{u \cdot i \cdot dt}
W = R\cdot \int{ i^{2} \cdot dt}

gdzie:
W – praca
p – moc chwilowa
p = u \cdot i
u – napięcie chwilowe
i – prąd chwilowy

Jeżeli przebieg jest okresowy to

W_{T} = R\cdot \int_{0}^{T}{ i^{2} \cdot dt}

Wartość skuteczna jest to prąd stały który wydzieli tyle samo ciepła.

R\cdot \int_{0}^{T}{ i^{2} \cdot dt} = R \cdot I^{2} \cdot T
Dzieląc powyższe równanie obustronnie przez R
\int_{0}^{T}{ i^{2} \cdot dt} = I^{2} \cdot T
Następnie zamieniając strony tak aby wyznaczyć prąd stały I
I^{2} \cdot T = \int_{0}^{T}{ i^{2} \cdot dt}
Finalnie uzyskuje się

Wartość skuteczna prądu

I_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T}\cdot \int_{0}^{T}{ i^{2} \cdot dt}}

Wartość skuteczna napięcia

U_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{T}\cdot \int_{0}^{T}{ u^{2} \cdot dt}}

Prąd i napięcie ładowania kondensatora w obwodzie prądu stałego

Wyznaczenie analitycznie równań na prąd i napięcie ładowania kondensatora w obwodzie prądu stałego.

Stan nieustalony podczas ładowania kondensatora - obwód elektryczny
Obwód RC prądu stałego

Równanie napięciowe dla rozpatrywanego obwodu
E - u_{R}(t)- u_{C}(t) = 0

Uwzględniając
u_{R}(t) = R \cdot i(t)
i_{C}(t) = C \cdot \frac{du_{C}(t)}{dt}

Rozpatrywany obwód jest szeregowym obwodem elektrycznym tj. przez każdy element w obwodzie przepływa ten sam prąd.
i(t) = i_{C}(t)

Otrzymuje się następujące równanie różniczkowe
E - R \cdot C \cdot \frac{du_{C}(t)}{dt} - u_{C}(t)

Rozwiązanie równania różniczkowego jest następującej postaci
Otrzymuje się następujące równanie różniczkowe
u_{C}(t) = E - (E - U_{C0})\cdot e^{-\frac{t}{T}}
gdzie stała czasowa T
T = R\cdot C
u_{C}(t) = E - (E - U_{C0})\cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}

Przyjmując napięcie na kondensatorze dla czasu t = 0
U_{C0} = 0
u_{C}(t) = E \cdot (1 - e^{-\frac{t}{R \cdot C}})

Równanie na prąd ładowania kondensatora otrzymuje się poprzez zróżniczkowanie po czasie równania na napięcie ładowania kondensatora

i_{C}(t) = \frac{E - U_{C0}}{R}\cdot e^{-\frac{t}{R \cdot C}}

Przykładowa charakterystyka napięcia na kondensatorze w funkcji czasu

Stan nieustalony - napięcie kondensatora podczas ładowania
Napięcie ładowania kondensatora

Przykładowa charakterystyka prądu ładowania kondensatora

Stan nieustalony - prąd kondensatora podczas ładowania
Prąd ładowania kondensatora

Obwód elektroniczny z diodą

W przykładzie rozpatrzony zostanie obwód elektroniczny z diodą krzemową. Rozpatrywany obwód zbudowany jest z dwóch oczek. W celu wyznaczenia prądów w obwodzie wyznaczone zostaną równania dla pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa.

Równanie prądowe Kirchhoffa
i - i_1 - i_2 = 0

Równanie napięciowe Kirchhoffa dla pierwszego oczka
V_1 - i \cdot R_1 - i_2 \cdot R_2 = 0

Równanie napięciowe Kirchhoffa dla drugiegooczka
i_2 \cdot R_2 - U_d - i_1 \cdot R_3 = 0

Pełne rozwiązanie analizowanego przykładu zadanie z diodą.

Admitancja równoległego połączenie elementów R, L, C

Obwód elektryczny RLC

Dla rozważanego obwodu elektrycznego RLC wyznaczona zostanie admitancja.

\underline{Y} = \frac{1}{\underline {Z}}

Jednostka admitancji jest Siemens.

S = \frac{1}{\Omega} = \Omega^{-1}

Wyznaczenie admitancji \underline{Y} widzianej od strony zacisków A i B sprowadza się wyznaczenia sumy admitancji składowych tj.

\underline{Y} = \underline{Y} _R + \underline{Y} _L + \underline{Y} _C

Pełne rozwiązanie przykładu – impedancja zadanie 6

Prawa Kirchhoffa w obwodach elektrycznych

Obwód elektryczny prądu stałego

Wyznaczanie równań Kirchhoffa dla obwodu elektrycznego. Obwód elektryczny zbudowany jest ze źródeł napięcia, źródeł prądu oraz rezystorów. Liczba równań Kirchhoffa niezbędna do rozwiązania obwodu elektrycznego jest następująca:
Liczbę węzłów oznaczamy jako n , stosując równania Kirchhoffa do rozwiązania obwodu elektrycznego liczba równań dla pierwszego prawa Kirchhoffa jest równa (n – 1):

I. K \rightarrow (n - 1)

Liczba równań napięciowych Kirchhoffa jest zależna od liczby gałęzi i węzłów w obwodzie. Wzór ogólny dla liczby równań napięciowych jest postaci:

II. K \rightarrow m - (n - 1)

gdzie:
m – liczba gałęzi
n – liczba węzłów

Równanie prądowe Kirchhoffa dla węzła „1” i „2”:

I_1 - I_2 - I_3 + I_{z1} = 0

Równanie prądowe Kirchhoffa dla węzła „3” i „4”:

I_2 + I_3 - I_{z1} - I_5 - I_4 - I_{z2} = 0

Równanie napięciowe Kirchhoffa dla oczka nr 1:

V_{z1} - R_1 \cdot I_1 - R_2 \cdot I_2 + V_{z3} + V_{z2} = 0 = 0

Równanie napięciowe Kirchhoffa dla oczka nr 2:

-V_{z2} - R_4 \cdot I_4 = 0 = 0

Równanie napięciowe Kirchhoffa dla oczka nr 3:

-V_{z3} + R_2 \cdot I_2 - R_3 \cdot I_3= 0 = 0

Pełne rozwiązanie rozpatrywanego przykładu:

Obwód elektryczny prądu stałego – prawa Kirchhoffa

Układ elektroniczny z diodą krzemową

Układ elektroniczny z diodą krzemową

W zamieszczonym przykładzie obwodu elektronicznego zbudowane z źródła napięcia, rezystora i diody krzemowej wyznaczone zostanie równanie napięciowe Kirchhoffa. W oparciu o równanie napięciowe obliczony zostanie prąd elektryczny płynący w obwodzie elektronicznym.

Równanie napięciowe Kirchhoffa

V_1 - i\cdot R_1 - U_{D1} = 0

Równanie opisujące prąd elektryczny w obwodzie

i = \frac{V_1 - U_{D1}}{R_1}

Pełne rozwiązanie przedstawionego zadania układ elektroniczny z diodą krzemową.

Moc w obwodach prądu przemiennego

Trójkąt mocy w obwodzie prądu przemiennego

W obwodach prądu przemiennego wyróżnione są trzy rodzaje mocy: moc pozorna, moc czynna i moc bierna. Moc pozorna jest sumą geometryczną mocy czynnej i biernej. Moc czynna to moc która wydziela się w postaci ciepła lub pracy mechanicznej. Moc bierna to moc, która wydziela się na elementach biernych tj. cewka lub kondensator.

\underline{S} = P + j\cdot Q \underline{S} = \underline{U} \cdot \underline{I}^* S = \sqrt{P^2 + Q^2} [V \cdot A] P = Re \underline{S} = U \cdot\ I \cdot \cos{\varphi} [W] Q = Im \underline{S} = U \cdot\ I \cdot \sin{\varphi} [Var]

Rozwiązane zadania w których obliczana jest moc w obwodach prądu przemiennego:

Ładowanie kondensatora C

Stan nieustalony podczas ładowania kondensatora - obwód elektryczny

Obwód elektryczny zbudowany jest z kondensatora C, rezystora R i źródła napięcia stałego E. Kondensator przed podłączeniem go do źródła napięcia jest rozładowany. W przykładzie tym wyprowadzone zostaną wzory na prąd i napięcie kondensatora podczas jego ładowania oraz rozładowywania.

Ładowanie kondensatora – stan nieustalony

Składowe impedancji Z

Obwody elektryczne - wyprowadzenie wzorów na składowe impedancji.

Impedancja posiada trzy składowe: rezystancję R, reaktancję indukcyjną XL oraz reaktancję pojemnościową XC. Impedancja jest wektorem, którego postać matematyczna jest następująca:
Z=R+j·XL-j·XC, gdzie
– R=ρ·l/S
– XL=ω·L
– XC=1/(ω·C)
Zamieszczone poniżej został przykład w którym wyprowadzone są wzory na wspomniane powyżej reaktancje indukcyjną XL i pojemnościową XC.

Składowe impedancji wyprowadzenie wzorów