Transformata Laplace’a zadania

Równania różniczkowe niekoniecznie muszą być rozwiązywane metodą klasyczną. Bardzo często stosowną metodą do rozwiązywania równań różniczkowych jest rachunek operatorowy, nazywany również często transformatą Laplace’a. Korzystając z transformacji Laplace’a do rozwiązania równania różniczkowego, otrzymujemy mówiąc z dużym uproszczeniem do rozwiązania równanie algebraiczne. Modele matematyczne układy dynamicznych bardzo często tworzone są z wykorzystaniem transformaty Laplace’a.

Podstawowe transformaty Laplace’a – wzory

Podstawowe transformaty Laplace'a.

Wzory na transformaty Laplace’a podstawowych funkcji. Rozwiązując równania różniczkowe metodą operatorową niezbędna jest znajomość podstawowych transformat Laplace’a.

Podstawowe transformaty Laplace’a

transformata Laplace’a – zadanie 1

Transformata Laplace'a - zadanie 1.

Wyznaczanie transformaty Laplace’a funkcji f(t)=1(t) → f(t)=1. Rozważana funkcja f(t) jest stała. Transformata Laplace’a tej funkcji zostanie wyznaczona z definicji.

Transformata Laplace’a zadanie 1

transformata Laplace’a – zadanie 2

Transformata Laplace'a - zadanie 2.

Rozwiązanie równania różniczkowego metodą operatorową. Równanie różniczkowe jest postaci y’+y=-3. Równanie różniczkowe zostanie przetransformowane do postaci operatorowej. Postać operatorowa równania zostanie rozbita na ułamki proste. W zadaniu wyznaczone zostaną współczynniki ułamków prostych oraz oryginały transformat funkcji przedstawionych poprzez ułamki.

Transformata Laplace’a zadanie 2

transformata Laplace’a – przykład 0

Transformata Laplace'a - przykład 0.

Rozwiązanie równania różniczkowego metodą operatorową. Równanie różniczkowe jest postaci y”(t)+8·y'(t)+16·y(t)={ 0 dla t<2; 1 dla 1≤t≤4; 0 dla t>4}. W trakcie wyznaczania transformaty Laplace’a równania różniczkowe trzeba wziąć pod uwagę również warunki początkowe y'(0)=0 oraz y(0)=1. W przykładzie zastosowane będzie twierdzenie o transformacie Laplace’a pochodnej funkcji. Wykorzystane zostaną również wzory na transformaty Laplace’a podstawowych funkcji. Współczynniki przy transformatach składowych zostaną wyznaczone z zastosowaniem metody rozbicia na ułamki proste.

Transformata Laplace’a przykład 0

transformata Laplace’a – przykład 1

Transformata Laplace'a - przykład 1.

Rozwiązanie równania różniczkowego metodą operatorową. Równanie różniczkowe jest postaci y”(t)+2·y'(t)+5·y(t)={ 0 dla t<0; 1 dla 0≤t≤2; 0 dla t>2}. W trakcie wyznaczania transformaty Laplace’a równania różniczkowe trzeba wziąć pod uwagę również warunki początkowe y'(0)=0 oraz y(0)=1. W przykładzie zastosowane będzie twierdzenie o transformacie Laplace’a pochodnej funkcji. Wykorzystane zostaną również wzory na transformaty Laplace’a podstawowych funkcji. Współczynniki przy transformatach składowych zostaną wyznaczone z zastosowaniem metody rozbicia na ułamki proste.

Transformata Laplace’a przykład 1

transformata Laplace’a – przykład 2

Transformata Laplace'a - przykład 2.

Rozwiązanie równania różniczkowego metodą operatorową. Równanie różniczkowe jest postaci y”(t)+y(t)={ 0 dla t<1; 1 dla 1≤t≤3; 0 dla t>3}. W trakcie wyznaczania transformaty Laplace’a równania różniczkowe trzeba wziąć pod uwagę również warunki początkowe y'(0)=0 oraz y(0)=1. W przykładzie zastosowane będzie twierdzenie o transformacie Laplace’a pochodnej funkcji. Wykorzystane zostaną również wzory na transformaty Laplace’a podstawowych funkcji. Współczynniki przy transformatach składowych zostaną wyznaczone z zastosowaniem metody rozbicia na ułamki proste

Transformata Laplace’a przykład 2

transformata Laplace’a – przykład 3

Transformata Laplace'a - przykład 0.

Rozwiązanie równania różniczkowego metodą operatorową. Równanie różniczkowe jest postaci y”(t)+8·y'(t)+16·y(t)={ 0 dla t<2; 1 dla 1≤t≤4; 0 dla t>4}. W trakcie wyznaczania transformaty Laplace’a równania różniczkowe trzeba wziąć pod uwagę również warunki początkowe y'(0)=0 oraz y(0)=1. W przykładzie zastosowane będzie twierdzenie o transformacie Laplace’a pochodnej funkcji. Wykorzystane zostaną również wzory na transformaty Laplace’a podstawowych funkcji. Współczynniki przy transformatach składowych zostaną wyznaczone z zastosowaniem metody rozbicia na ułamki proste

Transformata Laplace’a przykład 3

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *