Archiwa kategorii: Mechanika

Dynamika w ruchu obrotowym

W przykładzie rozpatrzony zostanie układ mechaniczny o trzech stopniach swobody. W jednym miejscu układu przyłożony jest zewnętrzny moment T. Rozpatrywany układ posiada w swojej strukturze elementy sprężyste i tłumiące.

Układ mechaniczny o trzech stopniach swobody

Równanie dla pierwszego stopnia swobody:

J_{1}\cdot \ddot{\varphi_1} = -c_1\cdot\varphi_1 + c_{12}\cdot(\varphi_2 - \varphi_1) + h_{12}\cdot(\dot{\varphi_2} - \dot{\varphi_1})

Równanie dla drugiego stopnia swobody

J_{2}\cdot \ddot{\varphi_2} = -c_{12}\cdot(\varphi_2 - \varphi_1) - h_{12}\cdot(\dot{\varphi_2} - \dot{\varphi_1}) - c_{23}\cdot(\varphi_2 - \varphi_3) - h_{23}\cdot(\dot{\varphi_2} - \dot{\varphi_3}) + T

Równanie dla trzeciegostopnia swobody

J_{3}\cdot \ddot{\varphi_3} = -c_3\cdot\varphi_3 - h_3\cdot\dot\varphi_3+ c_{23}\cdot(\varphi_2 - \varphi_3) + h_{23}\cdot(\dot{\varphi_2} - \dot{\varphi_3})

Moment bezwładności

Moment bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu obrotowym.

W ogólności moment bezwładności dany jest wzorem:

I = \int_m r^2 \cdot dm

Moment bezwładności bryły sztywnej jest więc sumą iloczynów elementarnych mas dm i kwadratu ich odległości od osi obrotu.

Bardzo często przy obliczaniu momentów bezwładności wykorzystywane jest twierdzenie o osiach równoległych, znane również jako Twierdzenie Steinera.


I = I_0 + m \cdot d^2

Rozwiązane zadania i przykłady:

Moment bezwładności

Tarcie toczne

Tarcie toczne

Wałek o masie m posiada możliwość toczenia się z równi pochyłej. Promień przekroju poprzecznego wałka wynosi r. Celem zadania jest wyznaczenie siły F, którą należy przyłożyć w środku masy wałka tak aby pozostał on w równowadze. Pomiędzy wałkiem a równią występuje tarcie toczne o współczynniku f.

\Sigma F_{ix} = 0 -F + G\cdot sin{\alpha} + T= 0 \Sigma F_{iy} = 0 N - G\cdot cos{\alpha}= 0 \Sigma M_{ia} = 0 -f\cdot N+ r\cdot T= 0

Pełne rozwiązanie przykładu przedstawionego powyżej – tarcie toczne zadanie.

Drgania masy na sprężynie

Wyznaczanie równania ruchu dla masy drgającej na sprężynie. W rozważanym układzie kula o masie m [kg] jest przytwierdzona do sufitu za pomocą sprężyny o sztywności k [\frac{N}{m}].

Masa drgająca

Równanie ruchu dla rozważanego układu jest postaci:

m \cdot \vec{a} = -k\cdot \vec{x}

Rozważane równanie ruchu jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych.

m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -k\cdot x

Stosując zapis Newton-a tj. oznaczając kolejne pochodne względem czasu poprzez kropki nad różniczkowaną zmienną, równanie ruchu ma postać:

m \cdot \ddot x = -k\cdot x

Oscylator harmoniczny prosty

Drgania harmoniczne układów mechanicznych

Oscylator harmoniczny prosty - równanie ruchu i okres drgań harmonicznych.

Drgania harmoniczne są jednym z podstawowych zjawisk z jakimi mamy do czynienie w przyrodzie. W bardzo dużym skrócie można powiedzieć, ze wszystko drga. Każde ciało stałe wykonuje drgania, których częstotliwość nazywa się częstotliwością drgań własnych. Gdyby zacząć działać na ciało siłą wymuszającą o częstotliwości równej częstotliwości drgań własnych ciała to doprowadzi się je do zjawiska rezonansu mechanicznego.

Drgania harmoniczne

Opór ruchu – tarcie

Tarcie toczne - zadanie 2.

Zjawisko tarcia jest jednym z podstawowych oporów ruchu z jakim spotykamy się w mechanice. Tarcie jest oporem materii, która przeciwdziała ruchowi ciała umieszczonego w niej. Opór powietrza jest przykładem oporu materii. W mechanice najczęściej spotykamy się z dwoma rodzajami tarcia:
tarciem przesuwnym (siła tarcia powstaje w wyniku przesuwania się po sobie powierzchni lub próby przesunięcia bez wprowadzenia w ruch)
tarciem tocznym (opór podczas toczenia ciał)
Gdy tarcie nie występowało to na mocy pierwszej zasady dynamika Newtona ciało raz rozpędzone poruszałoby się ruchem jednostajnym w nieskończoność, gdyby na ciało działała niezrównoważona siła to na mocy drugiej zasady dynamiki Newtona ciało rozpędzałoby się w nieskończoność. Oczywiście jak wiemy z doświadczeń oba hipotetyczne przypadki nie występują. Pierwszy przypadek jest niemożliwy z uwagi na występowanie oporu materii, a drugi przypadek z powodu oporu materii oraz ograniczeń związanych Szczególną Teorią Względności Alberta Einsteina (żadne ciało posiadające masę spoczynkową większą od zera, nie może osiągnąć prędkości większej od prędkości światła c w próżni).

Mechanika tarcie – zadania

Przyśpieszenie liniowe rozwijającego się wałka

Mechanika dynamika - wyznaczanie przyśpieszenia rozwijającego się wałka.

Wyznaczanie przyśpieszenia liniowego z jakim porusza się wałek. Wałek przywiązany jest na nieważkiej nici do sufitu. Wałek posiada masę m, a jego podstawa ma promień r. Układ znajduje się pod wpływem ziemskiego pola grawitacyjnego. Rozwijący wałek porusza się ruchem płaskim pionowo w dół. Ruch płaski to połączenie ruchu liniowego i ruchu obrotowego.

Dynamika – przyśpieszenie rozwijającego się wałka

Dobór napędu elektrycznego do windy

silnik elektryczny napędzający windę

Projekt obliczeniowy doboru silnika asynchronicznego i przetwornicy częstotliwości do realizacji napędu windy. W projekcie wykonane są niezbędne obliczenia parametrów mechanicznych i elektrycznych układu napędowego. Winda ogólnie sprawę ujmując jest urządzenie elektromechanicznym.
Obliczane parametry mechaniczne to między innymi:
• mechaniczny moment statyczny dla podnoszenia i opadania windy
• mechaniczny moment dynamiczny dla podnoszenia i opadania windy
• mechaniczny moment całkowity dla podnoszenia i opadania windy
• przyśpieszenia liniowe startu i hamowania windy
• prędkości liniowe wznoszenia i opadania

Obliczane parametry elektryczne to między innymi:
• wyjściowy moment elektromagnetyczny silnika
• prąd elektryczny pobierany przez silnik
• charakterystyka zmian momentu elektromagnetycznego w zależności od cyklu pracy

Opracowanie zawiera również procedurę parametryzacji przetwornicy częstotliwości do pracy z wybranym silnikiem asynchronicznym.

Napęd elektryczny windy – projekt