Matematyka

Matematyka jest językiem nauki. Dobra znajomość aparatu matematycznego jest podstawą do zrozumienia nauk ścisłych.
Na stronie zamieszczone są zdania z matematyki jakie udało mi się rozwiązać podczas studiów. Znaleźć tu można rozwiązane przykłady
zadań z równaniami różniczkowymi, macierzami odwrotnymi, wektorami własnymi, transformatami Laplace’a, całkami nieoznaczonymi, szeregami liczbowymi. Jest także kompaktowy cztero częściowy zbiór zadań jakie mogą się znaleźć na egzaminie z analizy matematycznej.
Wersja anglojęzyczna:
Maths

Pochodne funkcji – zadania:

Matematyka - pochodna funkcji.

Zbiór zadań w których obliczane są pochodne różnych funkcji. Poza zadaniami zamieszczone są również podstawowe twierdzenia dotyczące wyznaczania pochodnych funkcji.

Pochodne funkcji zadania

Całka nieoznaczona – zadania:

Matematyka - całka nieoznaczona.

Rozwiązane zadania i przykłady w których obliczane są całki nieoznaczone różnych funkcji. Na stronie zamieszczone są wzory na całki nieoznaczone funkcji elementarnych. W rozwiązanych przykładach stosowane są róże twierdzenia dotyczące całkowania między innymi twierdzenie o całkowaniu przez części oraz twierdzenie o całkowaniu przez podstawienie. W praktyce wykorzystujemy całkowanie przykładowo do obliczania momentów bezwładności różnych brył.

Całki nieoznaczone- rozwiązane zadania

Całka oznaczona – zadania:

Matematyka - całka oznaczona.

Po dokładnym zapoznaniu się z pochodnymi funkcji oraz z obliczaniem ich funkcji pierwotnych w postaci całek nieoznaczonych dochodzimy do całek oznaczonych. Wynikiem obliczenia całki nieoznaczonej jest funkcja plus stała. Podstawowym twierdzeniem stosowanym przy obliczaniu całek oznaczonych jest twierdzenie Newtona-Leibniza. Całka oznaczona w wyniku daje nam konkretną wartość liczbową. Jeżeli przykładowa funkcja jest w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych XY to całka oznaczona z tej funkcji na pewnym przedziale osi odciętych(osi argumentów x) jest w interpretacji geometrycznej polem powierzchni pod krzywą jaką zakreśla ta funkcja nad tym przedziałem.

Całki oznaczone- rozwiązane zadania

Analiza matematyczna zadania ogólne:

W zbiorze zadań z analizy matematycznej można znaleźć rozwiązane przykłady z równań różniczkowych. Równania różniczkowe rozwiązywane są metodą wyznacznika i metodą przewidywań. Kilka przykładów jest poświęconych badaniom zbieżności szeregów liczbowych w oparciu o kryteria Cauchy’ego i d’Alemberta. W zbiorze zadań rozwiązane są również przykłady związane z szeregami funkcyjnymi.

Analiza matematyczna zadania zestaw 0
Analiza matematyczna zadania zestaw 1
Analiza matematyczna zadania zestaw 2
Analiza matematyczna zadania zestaw 3

Równania różniczkowe – zadania:


Rozwiązane zadania dotyczące równań różniczkowych. Znaleźć tu można rozwiązane przykłady z równaniami różniczkowymi pierwszego i drugiego rzędu. W zadaniach rozwiązywane są równania różniczkowe jednorodne oraz niejednorodne. Szczegółowo wyjaśnione jest zastosowanie metody przewidywań oraz metody wrońskiana do rozwiązywania równań różniczkowych.

Równania różniczkowe – zadania

Transformata Laplace’a – rozwiązane przykłady

Matematyka - transformata Laplace'a.

Równania różniczkowe niekoniecznie muszą być rozwiązywane metodą klasyczną. Bardzo często stosowną metodą do rozwiązywania równań różniczkowych jest rachunek operatorowy, nazywany również często transformatą Laplace’a. Korzystając z transformaty Laplace’a do rozwiązania równania różniczkowego, otrzymujemy mówiąc z dużym uproszczeniem do rozwiązania równanie algebraiczne. Układy dynamiczne bardzo często opisuje się z wykorzystaniem transformaty Laplace’a.

Transformata Laplace’a – rozwiązane zadania

Macierze odwrotne – rozwiązane zadania

Macierz odwrotna - rozwiązane przykład.

Podczas rozwiązywania równań macierzowych niezbędne są macierze odwrotne. W równaniu macierzowym macierzy nie wolno dzielić!!!. Macierz odwrotna pozwala na eliminację macierzy z jednej strony równania. Procedura wyznaczania macierzy odwrotnej do macierzy A:
• sprawdzić czy macierz A jest odwracalna → detA≠0
• obliczyć wyznacznik macierzy A → detA
• obliczyć macierz dopełnień algebraicznych → Dij
• transponować macierz dopełnień algebraicznych Dij → (Dij)T
• obliczyć macierz odwrotną do macierzy AA-1=(1/detA)·(Dij)T
• sprawdzić poprawność obliczeń poprzez wykonanie mnożenia macierzy A i jej macierzy odwrotnej A-1A·A-1 lub A-1·A
• jak wynik mnożenia jest równy macierzy jednostkowej to obliczenia są dobrze wykonane → A·A-1=I lub A-1·A=I

Macierze odwrotne – rozwiązane zadania

Wartości własne i wektory własne macierzy – zadania:

Matematyka - wartości własne.

Kilka kompletnie rozwiązanych przykładów wyznaczających wektory własne macierzy oraz wartości własne macierzy. Wartości własne macierzy uzyskuje się poprzez obliczenie wyznacznika det[Aλ·I].
Gdzie:
A jest rozważaną macierzą
λ jest wektorem wartości własnych macierzy A
I jest macierzą macierzą jednostkową

Wartości własne i wektory własne macierzy – zadania

Szeregi liczbowe – przykłady:

Rozwiązane przykłady wyznaczjące zbieżnośc szeregów liczbowych. Zbieżność szeregów liczbowych wyznaczana jest w oparciu o kryteria zbieżności.

wyznaczanie zbieżności szeregu liczbowego – przykład 0
wyznaczanie zbieżności szeregu liczbowego – przykład 1
wyznaczanie zbieżności szeregu liczbowego – przykład 2
wyznaczanie zbieżności szeregu liczbowego – przykład 3
wyznaczanie zbieżności szeregu liczbowego – przykład 4
wyznaczanie zbieżności szeregu liczbowego – przykład 5
wyznaczanie zbieżności szeregu liczbowego – przykład 6

Spis zadań:

Równania różniczkowe metoda uzmienniania stałej
Równania różniczkowe metoda przewidywań

Równania różniczkowe przykład 0
Równania różniczkowe przykład 1
Równania różniczkowe przykład 2
Równania różniczkowe przykład 3
Równania różniczkowe przykład 4
Równania różniczkowe przykład 5

transformata Laplace’a – przykład 0
transformata Laplace’a – przykład 1
transformata Laplace’a – przykład 2
transformata Laplace’a – przykład 3

Dodaj komentarz

Twój adres email nie zostanie opublikowany. Pola, których wypełnienie jest wymagane, są oznaczone symbolem *