
Transmitancja operatorowa jest jednym z rodzajów modeli matematycznych obiektów. TransmitancjÄ™ operatorowÄ… G(S) definiujemy jako stosunek transformaty Laplace'a sygnaÅ‚u wyjÅ›ciowego Y(s) do transformaty Laplace'a sygnaÅ‚u wejÅ›ciowego U(s). Model matematyczny obiektu w postaci transmitancji operatorowej łączy w jednym równaniu zależność miedzy sygnaÅ‚em wejÅ›ciowym a sygnaÅ‚ wyjÅ›ciowym. ZnajÄ…c transmitancjÄ™ operatorowÄ… obiektu można wyznaczyć jego odpowiedÂz na zadane wymuszenie. SygnaÅ‚ami wejÅ›ciowymi i wyjÅ›ciowymi mogÄ… być różne wielkoÅ›ci fizyczne. W przypadku ukÅ‚adów elektrycznych sygnaÅ‚em wejÅ›ciowym może być napiÄ™cie U a sygnaÅ‚em wyjÅ›ciowym prÄ…d I. W ukÅ‚adach mechanicznych sygnaÅ‚em wejÅ›ciowym może być siÅ‚a F a sygnaÅ‚em wyjÅ›ciowym przesuniÄ™cie δx. Modelowany obiekt może być też hybrydÄ…, czyli połączeniem ukÅ‚adu mechanicznego i elektrycznego. W przypadku obiektu elektromechanicznego sygnaÅ‚em wejÅ›ciowym może być napiÄ™cie U a sygnaÅ‚em wyjÅ›ciowym moment M. PrzykÅ‚adem obiektu elektromechanicznego jest silnik indukcyjny. W rozwiÄ…zanych zadaniach zamieszczonych poniżej wyznaczana jest transmitancja operatorowa dla różnych obiektów elektrycznych i mechanicznych.
Wyznaczanie transmitancji operatorowej G(s) dla czwórnika. Obwód elektryczny zbudowany jest z trzech elementów: kondensatora C, rezystora R1 i rezystora R2. W celu wyznaczenia transmitancji zapisujemy prądy i napięcia w postaci operatorowej, następnie zapisujemy równania dla pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa. W oparciu o równania Kirchhoffa wyznaczamy transmitancję operatorową obiektu.
Transmitancja operatorowa układu elektrycznego 1Wyznaczanie transmitancji operatorowej G(s) dla czwórnika. Obwód elektryczny złożony jest z czterech elementów: kondensatorów C1 i C2, oraz rezystorów R1 i R2. W celu wyznaczenia transmitancji zapisujemy prądy i napięcia w postaci operatorowej, następnie zapisujemy równania dla pierwszego i drugiego prawa Kirchhoffa. W oparciu o równania Kirchhoffa wyznaczamy transmitancję operatorową obiektu.
Transmitancja operatorowa ukÅ‚adu elektrycznego 2RozwiÄ…zany przykÅ‚ad z wyznaczaniem transmitancji operatorowej G(s) dla ukÅ‚adu mechanicznego. UkÅ‚ad mechaniczny zbudowany jest z połączonych równolegle elementów takich jak sprężyna i tÅ‚umik wiskotyczny. Sprężyna posiada parametr k[N/m] opisujÄ…cy jej sztywność, tÅ‚umik wiskotyczny opisany jest parametrem B[N·s/m]. UkÅ‚ad poddany jest wymuszeniu u(t) w postaci siÅ‚y F. SygnaÅ‚em wyjÅ›ciowym jest przemieszczenie elementów y(t). SygnaÅ‚ wejÅ›ciowy i wyjÅ›ciowy zostajÄ… zapisane w postaci operatorowej w celu wyznaczenia transmitancji.
Transmitancja operatorowa ukÅ‚adu mechanicznego 1Dla obiektu mechanicznego wyznaczona zostanie transmitancja operatorowa G(s). Obiekt mechaniczny zbudowany jest z masy m. Masa osadzona jest na podÅ‚ożu poprzez tÅ‚umik o staÅ‚ej konstrukcyjnej B[N·s/m] połączony równolegle z sprężynÄ… o sztywnoÅ›ci k2[N/m]. Od góry do masy przymocowana jest sprężyna o sztywnoÅ›ci k1[N/m]. Sprężyna k1 zostaje Å›ciÅ›niÄ™ta o odlegÅ‚ość u(t). OdlegÅ‚ość u(t) jest sygnaÅ‚em wejÅ›ciowym. W wyniku przemieszczenia siÄ™ sprężyny k1 Å›rodek ciężkoÅ›ci masy przemieszcza siÄ™ o odlegÅ‚ość y(t). Przemieszczenie Å›rodka masy jest sygnaÅ‚em wyjÅ›ciowym. Dla obiektu zostaje zapisane równanie ruchu w postaci operatorowej. W oparciu o równanie ruchu wyznaczona zostaje transmitancja operatorowa.
Transmitancja operatorowa układu mechanicznego 2Dla obiektu mechanicznego wyznaczona zostanie transmitancja operatorowa G(s). Obiekt mechaniczny zbudowany jest z dwóch wózków, większy wózek posiada masę m1[kg], mniejszy wózek posiada masę m2[kg]. Mniejszy wózek znajduję się wewnątrz większego wózka i jest przymocowany do jednej z jego ścianek za pomocą sprężyny o stałej k[N/m]. Sygnałem wejściowym jest przesunięcie dużego wózka. Na skutek działania sygnału wejściowego duży wózek porusza się w prawo. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie małego wózka. Tarcie i opór powietrza są pominięte w przykładzie.
Transmitancja operatorowa układu mechanicznego 3Dla obiektu mechanicznego wyznaczona zostanie transmitancja operatorowa G(s). Obiekt mechaniczny zbudowany jest z dwóch wózków, większy wózek posiada masę m1[kg], mniejszy wózek posiada masę m2[kg]. Mniejszy wózek znajduję się wewnątrz większego wózka i jest przymocowany do jednej z jego ścianek za pomocą sprężyny o stałej k[N/m]. Sygnałem wejściowym jest przesunięcie dużego wózka. Na skutek działania sygnału wejściowego duży wózek porusza się w lewo. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie małego wózka. Tarcie i opór powietrza są pominięte w przykładzie.
Transmitancja operatorowa układu mechanicznego 4Obiekt automatycznej regulacji zbudowany jest z dwóch sprężyn k1, k2 oraz dwóch tłumików wiskotycznych B. Elementy składowe obiektu regulacji połączone są z sobą równolegle. Konfiguracja połączenia elementów jest zamieszczona na rysunku. Dla rozpatrywanego układu wyznaczona zostanie transmitancja operatorowa G(s). W przykładzie warunki początkowe są równe zeru.
Transmitancja operatorowa układu mechanicznego 5