Umiejętność obliczania pochodnych funkcji jest jedną z podstawowych umiejętności w nauce i inżynierii. Dobre opanowanie tego działu matematyki jest niezbędne do dalszej bezproblemowej nauki na studiach. Na stronie zamieszczone są rozwiązane zadania z pochodnych funkcji. Obliczane są tutaj różne rodzaje pochodnych tak aby czytelnik mógł się zapoznać z zastosowaniem podstawowych twierdzeń matematycznych dotyczących pochodnych funkcji.

Podstawowe pochodne funkcji

Mamy szczęście ponieważ nie musimy wyznaczać pochodnych wszystkich podstawowych funkcji. Matematycy wyznaczyli w przeszłości mnóstwo pochodnych podstawowych funkcji. Zamieszczony jest tutaj zestaw wzorów na podstawowe pochodne funkcji. Oczywiście każdy wzór ma swój dowód matematyczny, ale nie tym się będziemy zajmować. Znajomość wzorów na podstawowe pochodne funkcji jest niezbędna ponieważ znamienita większość funkcji z jakimi się spotkamy jest modyfikacją lub złożeniem funkcji podstawowych.

Pochodne podstawowych funkcji

Pochodna funkcji – zadanie 1

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=2·x. Pochodna funckji zostanie obliczona z definicji.

Pochodna funkcji – zadanie 1

Pochodna funkcji – zadanie 2

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=x². Pochodna funckji zostanie obliczona z definicji.

Pochodna funkcji – zadanie 2

Pochodna funkcji – zadanie 3

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=3·x²+4·x-1. W przykładzie obliczona zostanie pochodna funkcji będącej sumą trzech funkcji elementarnych.

Pochodna funkcji – zadanie 3

Pochodna funkcji – zadanie 4

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=(x-5)·e^x. W przykładzie obliczona zostanie pochodna funkcji, która jest iloczynem dwóch funkcji elementarnych. Zastosowane zostanie twierdzenie dotyczące wyznaczania pochodnej iloczynu dwóch funkcji.

Pochodna funkcji – zadanie 4

Pochodna funkcji – zadanie 5

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=cos(5·x)+e^-2·x. Funkcja jest sumą dwóch funkcji złożonych. W zadaniu zastosowane będzie twierdzenie dotyczące obliczania pochodnej funkcji złożonej. Pierwszą funkcją złożoną jest funkcja kosinus na funkcji 5·x. Drugą funkcją złożoną jest eksponenta na funkcji -2·x.

Pochodna funkcji – zadanie 5

Pochodna funkcji – zadanie 6

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=cos(5·x)·e^-2·x.

Pochodna funkcji – zadanie 6

Pochodna funkcji – zadanie 7

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=(3/(x+7))².

Pochodna funkcji – zadanie 7

Pochodna funkcji – zadanie 8

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=sin²x.

Pochodna funkcji – zadanie 8

Pochodna funkcji – zadanie 9

Obliczanie pochodnej funkcji, która jest postaci f(x)=2·x·e^-x2.

Pochodna funkcji – zadanie 9

Pochodna funkcji – zadanie 10

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x^1/2+ln(x).
Funkcja składa się z sumy dwóch funkcji składowych pierwsza jest pierwiastkiem kwadratowym z zmiennej x, a druga jest logarytmem naturalnym z zmiennej x.

Pochodna funkcji – zadanie 10

Pochodna funkcji – zadanie 11

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x^1/2·ln(x).
Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych pierwsza jest pierwiastkiem kwadratowym z zmiennej x, a druga jest logarytmem naturalnym z zmiennej x. W trakcie obliczania pochodnej zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji.

Pochodna funkcji – zadanie 11

Pochodna funkcji – zadanie 12

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x⁴·e^x.
Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x podniesioną to potęgi czwartej. Druga jest eksponentą to potęgi x. W trakcie obliczania pochodnej zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji. Wykorzystane zostaną wzory na pochodne funkcji elementarnych.

Pochodna funkcji – zadanie 12

Pochodna funkcji – zadanie 13

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x/(x²+1).
Funkcja jest ilorazem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x podniesioną to potęgi pierwszej. Druga funkcja składowa jest funkcją złożoną. W trakcie obliczania pochodnej zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji. Wykorzystany zostanie twierdzenie o wyznaczaniu pochodnej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 13

Pochodna funkcji – zadanie 14

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x^1/2.
Funkcja jest pierwiastkiem kwadratowym z zmiennej x.

Pochodna funkcji – zadanie 14

Pochodna funkcji – zadanie 15

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(x^1/2+1)/(x^1/3).
Funkcja jest ilorazem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest pierwiastkiem kwadratowym z zmiennej x, do której dodana jest stała o wartości jeden. Druga funkcja składowa jest funkcją złożoną, której funkcja zewnętrzna jest potęgą „-1”, a funkcja wewnętrzna jest pierwiastkiem trzeciego stopnia z zmiennej x. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji.

Pochodna funkcji – zadanie 15

Pochodna funkcji – zadanie 16

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(sin(x))/(x+1).
Funkcja jest ilorazem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest sinusem zmiennej x, Druga funkcja składowa jest funkcją złożoną, której funkcja zewnętrzna jest potęgą „-1”, a funkcja wewnętrzna jest sumą zmiennej x i stałej o wartości jeden. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji.

Pochodna funkcji – zadanie 16

Pochodna funkcji – zadanie 17

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x/cos(x).
Funkcja jest ilorazem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x w potędze pierwszej, Druga funkcja składowa jest funkcją złożoną, której funkcja zewnętrzna jest potęgą „-1”, a funkcja wewnętrzna jest kosinusem zmiennej x. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji oraz twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 17

Pochodna funkcji – zadanie 18

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(1-x³)/(1+x³. Funkcja jest ilorazem dwóch funkcji składowych. Funkcja składowa stanowiąca mianownik ułamka jest funkcją złożoną. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji oraz twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 18

Pochodna funkcji – zadanie 19

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x·(sinx)². Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x w potędze pierwszej. Druga funkcja składowa jest funkcją sinus kwadrat na zmiennej x. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji oraz twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 19

Pochodna funkcji – zadanie 20

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x·(1+x²)^1/2. Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x w potędze pierwszej. Druga funkcja składowa jest pierwiastkiem kwadratowym z sumy zmiennej x w kwadracie i stałej o wartości jeden. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji oraz twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 20

Pochodna funkcji – zadanie 21

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=e^(1+x)/(1-x). Funkcja stałą eksponentą podniesiona do potęgi (1+x)/(1-x). Wykładnik eksponenty jest ilorazem dwóch funkcji. W zadaniu obliczyć trzeba pochodną funkcji złożonej. Funkcja wewnętrzna funkcji złożonej jest dodatkowo ilorazem dwóch funkcji składowych.

Pochodna funkcji – zadanie 21

Pochodna funkcji – zadanie 22

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x²·e^2·x. Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x w potędze drugiej. Drugą funkcją składową jest eksponenta podniesiona do potęgi 2·x. Rozwiązanie zadania polega na obliczeniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji. Należy zwrócić uwagę na fakt, że eksponeta w potędze 2·x jest funkcją złożoną, dla niej liczymy pochodną funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 22

Pochodna funkcji – zadanie 23

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(1+x²)^1/2·ln(x). Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest funkcją złożoną. Druga funkcja składowa jest logarytmem naturalnym z zmiennej x. W rozwiązaniu wyznaczona zostaje pochodna iloczynu dwóch funkcji. Dla jednej z składowych iloczynu policzona zostaje pochodna funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 23

Pochodna funkcji – zadanie 24

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=sin(ln(2·x+1)). Funkcja jest funkcją potrójnie złożoną. Funkcją zewnętrzną jest funkcja sinus. Pierwszą funkcją wewnętrzną jest logarytm naturalny. Drugą funkcją wewnętrzną jest funkcja 2·x+1.

Pochodna funkcji – zadanie 24

Pochodna funkcji – zadanie 25

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(sin(2·x))². Funkcja jest funkcją potrójnie złożoną. Funkcją zewnętrzną jest funkcja sinus podniesiona do potęgi drugiej. Pierwszą funkcją wewnętrzną jest funkcja sinus. Drugą funkcją wewnętrzną jest funkcja 2·x.

Pochodna funkcji – zadanie 25

Pochodna funkcji – zadanie 26

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(1+ln(x²+1))^1/2. Funkcja jest funkcją potrójnie złożoną. Funkcją zewnętrzną jest pierwiastek kwadratowy. Pierwszą funkcją wewnętrzną jest logarytm naturalny. Drugą funkcją wewnętrzną jest funkcja x²+1.

Pochodna funkcji – zadanie 26

Pochodna funkcji – zadanie 27

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=sinh(x)=(e^x-e^-x)/2. Z wzorów na pochodne funkcji elementarnych wiemy że pochodną sinusa hiperbolicznego jest kosinus hiperboliczny. W zadaniu tym obliczona zostaje pochodna sinusa hiperbolicznego przedstawionego w postaci wykładniczej.

Pochodna funkcji – zadanie 27

Pochodna funkcji – zadanie 28

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=cosh(x)=(e^x+e^-x)/2. Z wzorów na pochodne funkcji elementarnych wiemy że pochodną kosinusa hiperbolicznego jest sinus hiperboliczny. W zadaniu tym obliczona zostaje pochodna kosinusa hiperbolicznego przedstawionego w postaci wykładniczej.

Pochodna funkcji – zadanie 28

Pochodna funkcji – zadanie 29

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=5·x³+2·x⁴+sin(x). Funkcja jest sumą trzech funkcji składowych.

Pochodna funkcji – zadanie 29

Pochodna funkcji – zadanie 30

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(sin(x))³+(cos(x))³. Funkcja jest sumą dwóch funkcji składowych. Obie funkcje składowe są funkcjami złożonymi. Pierwsza funkcja składowa jest funkcją sinus w potędze trzeciej. Druga funkcja składowa jest funkcją kosinus w potędze trzeciej.

Pochodna funkcji – zadanie 30

Pochodna funkcji – zadanie 31

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(sin(x))³·(cos(x))³. Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Obie funkcje składowe są funkcjami złożonymi. Pierwsza funkcja składowa jest funkcją sinus w potędze trzeciej. Druga funkcja składowa jest funkcją kosinus w potędze trzeciej. Zastosowane zostaną twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej oraz o pochodnej iloczynu dwóch funkcji.

Pochodna funkcji – zadanie 31

Pochodna funkcji – zadanie 32

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=2·cos(5·x)+e^-2·x. Rozważana funkcja składa się z dwóch prostszych funkcji. Funkcja jest sumą dwóch funkcji złożonych. W zadaniu zastosowane będzie twierdzenie dotyczące obliczania pochodnej funkcji złożonej. Pierwszą funkcją złożoną jest funkcja dwa razy kosinus na funkcji 5·x. Drugą funkcją złożoną jest eksponenta na funkcji -2·x.

Pochodna funkcji – zadanie 32

Pochodna funkcji – zadanie 33

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=2·cos(3·x)+e^-3·x+ln(x/2). Rozważana funkcja jest sumą trzech funkcji złożonych. W zadaniu zastosowane będzie twierdzenie dotyczące obliczania pochodnej funkcji złożonej. Pierwszą funkcją złożoną jest funkcja trzy razy kosinus na funkcji 3·x. Drugą funkcją złożoną jest eksponenta na funkcji -3·x. Trzecia funkcja składowa to ln(x/2)=ln(x)-ln2.

Pochodna funkcji – zadanie 33

Pochodna funkcji – zadanie 34

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(2·x)^1/2. Funkcja jest funkcją złożoną Funkcja jest pierwiastkiem kwadratowym z funkcji 2·x. Zastosowane zostanie twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 34

Pochodna funkcji – zadanie 35

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=sin²(x/2). Funkcja f(x) jest funkcją potrójnie złożoną.

Pochodna funkcji – zadanie 35

Pochodna funkcji – zadanie 36

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x·(sin(3·x))². Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x w potędze pierwszej. Druga funkcja składowa jest funkcją sinus kwadrat na funkcji 3·x. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji oraz twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodna funkcji – zadanie 36

Pochodne funkcji – zadanie 37

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=(x·sin(3·x))². Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x w potędze drugiej. Druga funkcja składowa jest funkcją sinus kwadrat na funkcji 3·x. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji oraz twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodne funkcji – zadanie 37

Pochodne funkcji – zadanie 38

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=x³·(sin(3·x))². Funkcja jest iloczynem dwóch funkcji składowych. Pierwsza funkcja składowa jest zmienną x w potędze trzeciej. Druga funkcja składowa jest funkcją sinus kwadrat na funkcji 3·x. Zastosowane zostanie twierdzenie o obliczaniu pochodnej iloczynu dwóch funkcji oraz twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej.

Pochodne funkcji – zadanie 38

Pochodne funkcji – zadanie 39

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=2^x. Pochodna funkcji zostanie wyznaczona z zastosowaniem wzorów na pochodne funkcji elementarnych.

Pochodne funkcji – zadanie 39

Pochodne funkcji – zadanie 40

Obliczanie pochodnej funkcji postaci f(x)=2^x+x. Funkcja f(x) jest sumą dwóch prostszych funkcji składowych. Pochodna funkcji f(x) zostanie wyznaczona z zastosowaniem wzorów na pochodne funkcji elementarnych.

Pochodne funkcji – zadanie 40