W przykładzie rozpatrzony zostanie układ mechaniczny o trzech stopniach swobody. W jednym miejscu układu przyłożony jest zewnętrzny moment T. Rozpatrywany układ posiada w swojej strukturze elementy sprężyste i tłumiące.
Dynamika w ruchu obrotowym
Admitancja równoległego połączenie elementów R, L, C
Dla rozważanego obwodu elektrycznego RLC wyznaczona zostanie admitancja.
\underline{Y} = \frac{1}{\underline {Z}}Jednostka admitancji jest Siemens.
S = \frac{1}{\Omega} = \Omega^{-1}Wyznaczenie admitancji \underline{Y} widzianej od strony zacisków A i B sprowadza się wyznaczenia sumy admitancji składowych tj.
\underline{Y} = \underline{Y} _R + \underline{Y} _L + \underline{Y} _CPełne rozwiązanie przykładu – impedancja zadanie 6
Prawa Kirchhoffa w obwodach elektrycznych
Wyznaczanie równań Kirchhoffa dla obwodu elektrycznego. Obwód elektryczny zbudowany jest ze źródeł napięcia, źródeł prądu oraz rezystorów. Liczba równań Kirchhoffa niezbędna do rozwiązania obwodu elektrycznego jest następująca:
Liczbę węzłów oznaczamy jako n , stosując równania Kirchhoffa do rozwiązania obwodu elektrycznego liczba równań dla pierwszego prawa Kirchhoffa jest równa (n – 1):
Liczba równań napięciowych Kirchhoffa jest zależna od liczby gałęzi i węzłów w obwodzie. Wzór ogólny dla liczby równań napięciowych jest postaci:
II. K \rightarrow m - (n - 1)gdzie:
m – liczba gałęzi
n – liczba węzłów
Równanie prądowe Kirchhoffa dla węzła „1” i „2”:
I_1 - I_2 - I_3 + I_{z1} = 0Równanie prądowe Kirchhoffa dla węzła „3” i „4”:
I_2 + I_3 - I_{z1} - I_5 - I_4 - I_{z2} = 0Równanie napięciowe Kirchhoffa dla oczka nr 1:
V_{z1} - R_1 \cdot I_1 - R_2 \cdot I_2 + V_{z3} + V_{z2} = 0 = 0Równanie napięciowe Kirchhoffa dla oczka nr 2:
-V_{z2} - R_4 \cdot I_4 = 0 = 0Równanie napięciowe Kirchhoffa dla oczka nr 3:
-V_{z3} + R_2 \cdot I_2 - R_3 \cdot I_3= 0 = 0Pełne rozwiązanie rozpatrywanego przykładu:
Moment bezwładności
Moment bezwładności jest odpowiednikiem masy w ruchu obrotowym.
W ogólności moment bezwładności dany jest wzorem:
I = \int_m r^2 \cdot dmMoment bezwładności bryły sztywnej jest więc sumą iloczynów elementarnych mas dm i kwadratu ich odległości od osi obrotu.
Bardzo często przy obliczaniu momentów bezwładności wykorzystywane jest twierdzenie o osiach równoległych, znane również jako Twierdzenie Steinera.
I = I_0 + m \cdot d^2
Rozwiązane zadania i przykłady:
Układ elektroniczny z diodą krzemową
W zamieszczonym przykładzie obwodu elektronicznego zbudowane z źródła napięcia, rezystora i diody krzemowej wyznaczone zostanie równanie napięciowe Kirchhoffa. W oparciu o równanie napięciowe obliczony zostanie prąd elektryczny płynący w obwodzie elektronicznym.
Równanie napięciowe Kirchhoffa
V_1 - i\cdot R_1 - U_{D1} = 0Równanie opisujące prąd elektryczny w obwodzie
i = \frac{V_1 - U_{D1}}{R_1}Pełne rozwiązanie przedstawionego zadania układ elektroniczny z diodą krzemową.
Tarcie toczne
Wałek o masie m posiada możliwość toczenia się z równi pochyłej. Promień przekroju poprzecznego wałka wynosi r. Celem zadania jest wyznaczenie siły F, którą należy przyłożyć w środku masy wałka tak aby pozostał on w równowadze. Pomiędzy wałkiem a równią występuje tarcie toczne o współczynniku f.
\Sigma F_{ix} = 0 -F + G\cdot sin{\alpha} + T= 0 \Sigma F_{iy} = 0 N - G\cdot cos{\alpha}= 0 \Sigma M_{ia} = 0 -f\cdot N+ r\cdot T= 0Pełne rozwiązanie przykładu przedstawionego powyżej – tarcie toczne zadanie.
Drgania masy na sprężynie
Wyznaczanie równania ruchu dla masy drgającej na sprężynie. W rozważanym układzie kula o masie m [kg] jest przytwierdzona do sufitu za pomocą sprężyny o sztywności k [\frac{N}{m}].
Równanie ruchu dla rozważanego układu jest postaci:
m \cdot \vec{a} = -k\cdot \vec{x}Rozważane równanie ruchu jest równaniem różniczkowym pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych.
m \cdot \frac{d^2x}{dt^2} = -k\cdot xStosując zapis Newton-a tj. oznaczając kolejne pochodne względem czasu poprzez kropki nad różniczkowaną zmienną, równanie ruchu ma postać:
m \cdot \ddot x = -k\cdot xWzmacniacz operacyjny w konfiguracji odwracającej
Wzmacniacze operacyjne są jednymi z podstawowych układów elektronicznych. W zależności od konfiguracji, układy wzmacniacza mogą realizować różne operacje na sygnale wejściowym. W rezultacie sygnał wyjściowy wzmacniacza operacyjnego jest przetworzonym sygnałem wejściowym.
Dla wzmacniacza w konfiguracji odwracającej zależność pomiędzy sygnałem wyjściowym i wejściowym jest następująca:
V_{out}(t) = -\frac{R_F}{R_1} \cdot V_{in}(t)Pełne wyprowadzenie zależności powyżej znaleźć można tutaj:
Moc w obwodach prądu przemiennego
W obwodach prądu przemiennego wyróżnione są trzy rodzaje mocy: moc pozorna, moc czynna i moc bierna. Moc pozorna jest sumą geometryczną mocy czynnej i biernej. Moc czynna to moc która wydziela się w postaci ciepła lub pracy mechanicznej. Moc bierna to moc, która wydziela się na elementach biernych tj. cewka lub kondensator.
\underline{S} = P + j\cdot Q \underline{S} = \underline{U} \cdot \underline{I}^* S = \sqrt{P^2 + Q^2} [V \cdot A] P = Re \underline{S} = U \cdot\ I \cdot \cos{\varphi} [W] Q = Im \underline{S} = U \cdot\ I \cdot \sin{\varphi} [Var]Rozwiązane zadania w których obliczana jest moc w obwodach prądu przemiennego:
Prawo Archimedesa
Wyprowadzenie wzoru na siłę wyporu tj. prawo Archimedesa. Prawo Archimedesa wynika z ciśnienia hydrostatycznego.
\vec{F_w} = - \vec{g} \cdot d \cdot V